Os lados de um decágono regular...

Os lados de um decágono regular medem 2 cm. Calcule o raio da circunferência circunscrita ao decágono.

Os lados de um decágono regular medem 2 cm. Calcule o raio da circunferência circunscrita ao decágono.

o ângulo central vale: 360º/10 = 36º.
cada lado, ligado ao centro da figura, forma um triângulo isósceles de lados iguais ao raio (R) da circunferência circunscrita. Os ângulos iguais desse triângulo valem:
(180º-36º)/2 = 72º.
a altura desse triâng. isósc. divide o lado do decágono ao meio. Temos portanto um triângulo retângulo de cateto unitário (2/2 = 1) e hipotenusa R, cujo ângulo é 72º.

cos72º = (L/2)/R -----> cos 72º = 1/R -----> R = 1/cos72º

cos72º = (√5 - 1)/4

R = 4/(√5 - 1) -----> R = √5 + 1 cm

Boa noite Medeiros.

Meu raciocínio foi idêntico ao seu, mas não consegui ir adiante depois que o exercício exigiu o valor do cos72°. Visto que o enunciado não o forneceu, como você conseguiu obtê-lo?

Veja a seguinte imagem:





Só complementando a resposta do colega Medeiros, que foi mais rápido que eu, vou demonstrar como encontrar o valor do cosseno de 72°.

Veja:

cos 72° = cos 18° = cos 2 * 36° = -cos (3 * 36°) --> Partindo da última parte da igualdade e lembrando que:

cos (2x) = 2cos²x - 1
cos (3x) = 4cos³x - 3cosx

Logo:

2cos² 36° - 1 = -(4cos³ 36° - 3cos 36°) .:. 2cos² 36° - =  -4cos³ 36° + 3cos 36° --> Fazendo cos 36° = t:

2t² - 1 = -4t³ + 3t .:. -4t³ - 2t² + 3t + 1 --> Observe agora que -1 é raiz, pois: -4*(-1) - 2*(1) + 3*(-1) + 1 .:. 0. Por Briot-Ruffini:

-1| -4 -2 3 1
     -4  2  1 0
-4t² + 2t + 1 = 0 .:. t = (-2 +- 2√5)/-8 .:. t = (-1 +- √5)/-4 --> Como t > 0, pois cos 36° > 0, temos: t = (√5 +1)/4 e portanto: cos 36° = (√5+1)/4


Agora, substituindo esse valor na fórmula do arco duplo:


cos(2x) = 2cos²x - 1 .:. cos 72° = 2* [(√5+1)/4]² -1 .:. cos 72°  = 2* (6 + 2√5)/16 - 1 .:. cos 72° =  (6 + 2√5)/8 - 1 .:.
 cos 72° = (2√5 - 2)/8 .:. cos 72° = (√5 -1)/4


Finalizando:


cos 72° =  (l/2)/r .:. cos 72° = 1/r .:. r = 1/cos 72° .:. r = 1/(√5-1)/4 .:. r = 4/(√5-1) .:. r = [ 4 * (√5+1)]/4 .:. r = √5 + 1


Só a título de curiosidade: a razão entre o raio da circunferência circunscrita ao decágono regular e o lado do mesmo, é a famosa razão áurea, conhecida como phi. Veja:


 



É isso.


Abraços,
Pedro

Caramba, acho que seria bastante complicado deduzir tudo isso considerando meus conhecimentos atuais. Na verdade, bem que o enunciado poderia ter disponibilizado o valor do cos72º, enfim...

De qualquer forma, obrigado pela resposta, Pedro.

É que esse valor é bem conhecido. Deve ser por isso que o enunciado não o deu.

Att.,
Pedro

Muito bom seu trabalho, Pedro. Parabéns.

Douglas, na verdade, esse é o único valor "meio" diferente que eu lembrava; por isso respondi à questão.

Existem valores já bem conhecidos que estão tabulados, por ex.:
cos72º = sen18º = esse que vimos = phi/2
cos18º = sen72º =... este lembro apenas que dá um radical duplo
cos( pi/8 ) ~ sen( 7pi/8 ) = ... também dá radical duplo

Abs.

Obrigado, Medeiros.

Aproveitando que já estamos aqui, vamos encontrar cos 18°:

cos°18 = sen 72°

Da Identidade Fundamental da Trigonometria:

sen²x + cos²x = 1
sen² 72° + cos² 72° = 1

Mas como já vimos: cos 72° = (√5 - 1)/4. Substituindo:


sen² 72° + (6 - 2√5)/16 = 1
sen² 72° = 1 - (6-2√5)/16
sen² 72° = (10 + 2√5)/16
sen 72° = √(10 + 2√5)/4

É isso.

Abraços,
Pedro

pessoal, nessa questão eu fiz de um jeito mais simplificado.
como o medeiros disse, o ângulo central da circunferência dividida em 10 segmentos vale 36º.
assim, teremos 10 triângulos isósceles, sendo o comprimento da base igual a 2 cm e os lados congruentes valendo R.
assim, é só aplicar lei dos cossenos, considerando cos36º = 0,8.
resolvendo, R = V10 cm aprox.
estaria certo ?

Resposta do livro: R = √5 + 1 cm