Módulo

Relembrando a primeira mensagem :

(Ufrj) Seja f a função real dada por f(x) = ax² + bx + 
c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as 
raízes da equação | f (x) | = 12 são -2, 1, 2 e 5. 
Justifique.

resposta : a = 2, b = - 6, c = - 8

me expliquem passo a passo por favor
a minha primeira dúvida nesse problema e como que vou saber que raíz é de qual equação.

Elcioschin escreveu:Porque as duas parábolas não devem se cruzar: elas devem ter o mesmo vértice e se tangenciar.

Partindo da resposta:

2.x² - 6.x - 8 = 12 ---> 2.x² - 6.x - 20 = 0 ---> x² - 3.x - 10 = 0 ---> Raízes x' = - 2, x" = 5, xV = 1,5, yV = - 24,5

2.x² - 6.x - 8 = - 12 ---> 2.x² - 6.x + 4 = 0 ---> x² - 3.x + 2 = 0 ---> Raízes x'" = 1, x"" = 2, xV = 1,5, yV = - 24,5

Sr. Elcio, estou a horas estudando as lógicas por traz dessa questão. Entendi muita coisa que não tinha entendido antes, e observei que houve um equívoco quanto ao cálculo do Yv, quando o correto seria:

2.x² - 6.x - 20 = 0      Yv = -24,5
2.x² - 6.x + 4 = 0       Yv = -0,5


x² - 3.x - 10 = 0      Yv = -12,25
x² - 3.x + 2 = 0       Yv = -0,25



observe graficamente:





o Xv permanece o mesmo; assim como os coeficientes a e b, é notável a alteração apenas em c. 


Voltando ao começo da análise da questão:

- se |f(x)| = 12, então f(x)=12 e/ou f(x)=-12
- se f(x)= ax²+bx+c, então ax²+bx+c=12 e/ou ax²+bx+c=-12. Portanto:
ax²+bx+c-12=0
ax²+bx+c+12=0 (agora temos duas funções). 


Minha maior dificuldade é como identificar, em meio as quatro raízes embaralhadas qual raiz pertence determinada função:
raízes -2, 1, 2, 5
ax²+bx+c-12=0    x'=? x"=?
ax²+bx+c+12=0   x'=? x"=?

Se algum conhecimento, ou raciocínio me levasse a distingui-las, poderia resolver através da forma fatorada a.(x-x').(x-x"), ou mesmo por sistemas.
Em seguida voltaria a função original.

Esse empasse tive no início da resolução. 
Após estuda-la a fundo, percebi (observando graficamente) que se temos uma função A com seus coeficientes definidos e queremos encontrar valores para x com base em y, criamos uma nova função B para encontrar suas raízes e atribuímos os valores dessas raízes á abcissa x para um determinado y da função A (original). Exemplo:

Observamos isso na imagem acima, onde a função azul é a original que queremos descobrir através das outras duas (que são na verdade a soma de 12 quando y=-12 ax²+bx+c=-12 -->ax²+bx+c+12=0 , e a subtração de 12 quando y=12 --> --> ax²+bx+c=12 -->ax²+bx+c-12=0. Ou seja temos 2 novas funções (g(x) e h(x)) para encontrarmos suas raízes e atribuirmos ao valor de x da função original (f(x)) com base num valor y, que foi adicionado e/ou subtraído. Portanto:

[g(x)->2.x² - 6.x - 20 = 0] = [f(x)->2x²-6x -8=12]
[h(x)->2.x² - 6.x + 4 = 0] = [f(x)->2x²-6x -8=-12].


Onde quero chegar?
Se temos esse conhecimento (já descrito) que o único valor alterado nessas relações é o coeficiente c, daí concluí-se que o Xv são iguais as três funções. E se o Xv é igual as três, então defino os pares de raiz (x',x") para g(x), e (x',x") para h(x). Pois como o Sr. mesmo disse: "Porque as duas parábolas não devem se cruzar: elas devem ter o mesmo vértice e se tangenciar."


pergunta:


-Como chegar a essa conclusão (do Xv em comum) de uma outra maneira?
-se não for através dessa informação (do Xv em comum), não seria possível distribuir as raízes para suas funções apropriadas?
-se não tiver esse conhecimento (do Xv em comum), não seria possível resolver a questão?


Preparei tudo isso para chegar nessas 3 perguntas, que são minhas reais dúvidas sobre esse exercício. Pois tentei de varias formas, e se estivesse realmente num vestibular, apesar dos conhecimentos que tinha, não teria conseguido. Apenas consegui após estudar essa relação do Xv em comum, e isso me preocupou bastante.
Espero que tenha expressado claramente o raciocínio.

Refiz a minha mensagem anterior para corrigir um erro meu. Vou dar mais detalhes agora

A função original é f(x) = a.x² + b.x + c = 0

A partir de |f(x)| = 12 deixa de ser função e passa a ser uma equação. Esta equação servirá apenas para calcular os valores de a, b, c. Não se deve usar uma equação para desenhar um gráfico (somente funções tem gráfico)

1) f(x) = - 12 ---> a.x² + b.x + c = - 12 --> Raízes 1 e 2 ---> xV =1,5 ---> - b/2.a = 1,5 ---> b = - 3.a

Para x = 1 ---> a + b + c = - 12 ---> a - 3.a + c = - 12 ---> - 2a + c = - 12 ---> I
Para x = 2 obteríamos a mesma equação.

2)  f(x) = + 12 ---> a.x² + b.x + c = 12 --> Raízes -2 e 5 ---> xV =1,5 ---> - b/2.a = - 1,5 ---> b = - 3.a

Para x = -2 ---> 4.a - 2.b + c = 12 ---> 4.a - 2(-3.a) + c = 12 ---> 10.a + c = 12 ---> II
Para x = 5 obteríamos a mesma equação.

II - I ---> 10.a - (-2.a) = 12 - (-12) ---> a = 2 --> b = - 6 ---> c = - 8

Elcioschin escreveu:Refiz a minha mensagem anterior para corrigir um erro meu. Vou dar mais detalhes agora

A função original é f(x) = a.x² + b.x + c = 0

A partir de |f(x)| = 12 deixa de ser função e passa a ser uma equação. Esta equação servirá apenas para calcular os valores de a, b, c. Não se deve usar uma equação para desenhar um gráfico (somente funções tem gráfico)

1) f(x) = - 12 ---> a.x² + b.x + c = - 12 --> Raízes 1 e 2 ---> xV =1,5 ---> - b/2.a = 1,5 ---> b = - 3.a

Para x = 1 ---> a + b + c = - 12 ---> a - 3.a + c = - 12 ---> - 2a + c = - 12 ---> I
Para x = 2 obteríamos a mesma equação.

2)  f(x) = + 12 ---> a.x² + b.x + c = 12 --> Raízes -2 e 5 ---> xV =1,5 ---> - b/2.a = - 1,5 ---> b = - 3.a

Para x = -2 ---> 4.a - 2.b + c = 12 ---> 4.a - 2(-3.a) + c = 12 ---> 10.a + c = 12 ---> II
Para x = 5 obteríamos a mesma equação.

II - I ---> 10.a - (-2.a) = 12 - (-12) ---> a = 2 --> b = - 6 ---> c = - 8

Entendi o pensamento Sr. Elcio.
Quanto a montar os sistemas, não tenho problema. Minha duvida era mesmo quanto a esse conhecimento fundamental (do Xv em comum) para distribuir cada raiz para sua devida equação.  Do contrário essa distribuição seria aleatória.

OBS: Se "A partir de |f(x)| = 12 deixa de ser função e passa a ser uma equação" então porque cita 2 parábolas e as trata como funções -->"Porque as duas parábolas não devem se cruzar: elas devem ter a mesma abcissa do vértice e ordenadas do vértice diferentes."?

Corrigida a minha frase na mensagem original (o termo "duas parábolas"  não é válido).

f(x)=ax²+bx+c-12=0
f(x)=ax²+bx+c+12=0

Raízes da primeira:
4a-2b+c-12=0
25a+5b+c-12=0

Segunda:
a+b+c-12=0
4a+2b+c-12=0

a+b+c-12=0
4a-2b+c-12=0
4a+2b+c-12=0


Estou me embaraçando nesse sistema.
Alguém poderia resolvê-lo?Grato

up

biologiaéchato escreveu:f(x)=ax²+bx+c-12=0
f(x)=ax²+bx+c+12=0

Raízes da primeira:
4a-2b+c-12=0
25a+5b+c-12=0

Segunda:
a+b+c-12=0
4a+2b+c-12=0

a+b+c-12=0
4a-2b+c-12=0
4a+2b+c-12=0


Estou me embaraçando nesse sistema.
Alguém poderia resolvê-lo?Grato

Selecione 3 das equações montadas de modo a formar um sistema linear, depois recomendo utilizar o método de Cramer. Dessa forma, você consegue encontrar os coeficientes.

Elcioschin escreveu:Porque ambas as equações representam pontos diferentes de uma mesma parábola (y = 12 e y = -12), a qual tem vértice V(xV, yV) onde xV = - b/2.a

Eu não entendi como vocês perceberam que as raízes -2, 5 eram de uma função e 1, 2 eram da oposta. Pode me ajudar.