Geometria Analítica

por Xm280 Ter 19 Fev 2019, 15:10

(ITA) Pelo ponto C: (4,-4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x-4)² + 2 nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é:

A) 6√12
B)√12
C)12
D)8
E)6

Resposta::

Minha dúvida é: qual o caminho para resolver essa questão em mais ou menos 5 minutos sem o uso de Cálculo?

por **Giovana Martins** Ter 19 Fev 2019, 16:27

Isso foi o mais rápido que eu consegui. Veja se te ajuda.

\\y=ax+b\ \therefore \ -4=4a+b\to b=-4(a+1)\ \therefore \ y=ax-4(a+1)\\\\y=ax-4(a+1)=(x-4)^2+2\to x^2-(a+8)x+4a+22=0\\\\\mathrm{Tang\hat{e}ncia:\ }\Delta =0\ \therefore \ [-(a+ Cool

]^2-4(1)(4a+22)=0\to a=\pm 2\sqrt{6}\\\\\therefore \ y=2\sqrt{6}x-8\sqrt{6}-4\ \wedge\ y=-2\sqrt{6}x+8\sqrt{6}-4\\\\y=2\sqrt{6}x-8\sqrt{6}-4=(x-4)^2+2\to x_A=4+\sqrt{6}\ \therefore \ y_A=8\\\\d=y_A-y_C\to d=8-(-4)\to \boxed {d=12}

por **Giovana Martins** Ter 19 Fev 2019, 16:28

Por algum motivo meu LaTeX bugou Smile

.

por **Giovana Martins** Ter 19 Fev 2019, 16:43

Confira os cálculos.

por kaneka Seg 26 Ago 2024, 17:31

fiz uma solução por cálculo kk
equação da reta de C(4,-4) ----> y+4=m(x-4)
Como eles se tangenciam então os m's são iguais
Eq. da parabola : y= (x-4)² +2 ---> cálculo diferencial e isolando dy/dx= 2x + 8
substituindo na reta que fiz pra c (porque dy/dx=m) :
(x-4)(2x- Cool

=(y+4) ---> y = 2(x-4)² -4 = y
Substituindo na eq da parabola denovo kaka
2(x-4)²-4 = (x-4)² + 2 . : . x = 4+ sqrt(6) a partir daq mão continuei pq a solução fica igual a do amigo aí em cima, percebi q o cálculo serve mais pra quando são tangentes e o m é o mesmo pra todos, mas evita fazer o bhaskara 🤟

por **Giovana Martins** Seg 26 Ago 2024, 17:39

kaneka escreveu:fiz uma solução por cálculo kk
equação da reta de C(4,-4) ----> y+4=m(x-4)
Como eles se tangenciam então os m's são iguais
Eq. da parabola : y= (x-4)² +2 ---> cálculo diferencial e isolando dy/dx= 2x + 8
substituindo na reta que fiz pra c (porque dy/dx=m) :
(x-4)(2x-=(y+4) ---> y = 2(x-4)² -4 = y
Substituindo na eq da parabola denovo kaka
2(x-4)²-4 = (x-4)² + 2 . : . x = 4+ sqrt(6) a partir daq mão continuei pq a solução fica igual a do amigo aí em cima, percebi q o cálculo serve mais pra quando são tangentes e o m é o mesmo pra todos, mas evita fazer o bhaskara 🤟

Eu não sou um garoto. Me chamo GiovanA.

No mais, boa solução.