Questão 96 do FME 2

por horuzen Seg 26 Ago 2024, 19:22

Determine o número de soluções de [latex]2^{x}=x^{2}[/latex]

o livro diz que há 2 soluções.

por **Giovana Martins** Seg 26 Ago 2024, 20:13

Trata-se de uma questão clássica, que inclusive já foi cobrada nos vestibulares mais antigos da FUVEST.

Note que há uma sutileza no enunciado. Ele não pede quais as raízes da igualdade, mas sim quantas. Isso se justifica pelo simples fato de esta igualdade não ter solução simples para todas as suas raízes, isto é, não é passível de ser resolvida via álgebra tradicional. É fácil notar que x = 2 e x = 4 são soluções do problema. Por sua vez, a outra solução não é tão simples.

Entretanto, para determinarmos quantas soluções tem a igualdade, basta plotarmos os gráficos das curvas f(x) = 2^x e g(x) = x². Os pontos de encontro destas curvas serão as soluções da igualdade.

Do gráfico abaixo, note que as curvas f(x) e g(x) se encontram nos pontos A, B e C, que são as soluções da igualdade. Deste modo, há dois valores inteiros que satisfazem a igualdade, porém, há três soluções reais para o problemas, tal que o gabarito, da forma como está escrito, não está correto.

A terceira raiz é facilmente encontrada via processos iterativos utilizando cálculo numérico (matéria voltada para o ensino acadêmico).

por Edsonrs Ter 27 Ago 2024, 10:17

Não concordo com essas soluções gráficas "bonitinhas". Numa prova elas são totalmente inviáveis.
Uma maneira de resolver esse tipo de questão é usando a função W de Lambert, mas este caminho está fora do alcance da maioria dos estudantes.
Até onde sei, só resta o método de tentativa e erro ....

por **Elcioschin** Ter 27 Ago 2024, 11:29

Tentativa e erro vai dar muito mais trabalho:

As soluções x = 2 e x = 4 consegue-se facilmente por tentativa e erro

Já a solução -1 < x < 0 não dá para saber, a priori este intervalo, só desenhando o gráfico!

Seria necessário testar, por exemplo:

...... -3 < x < -2 , -2 < x < -1 , 0 < x < 1 , 1 < x < 2 , 2 < x < 3 , 3 < x < 4 .......

Além disso, o gabarito do livro está errado: existem 3 soluções

por **Giovana Martins** Ter 27 Ago 2024, 11:50

Edsonrs escreveu:
Não concordo com essas soluções gráficas "bonitinhas". Numa prova elas são totalmente inviáveis.
Uma maneira de resolver esse tipo de questão é usando a função W de Lambert, mas este caminho está fora do alcance da maioria dos estudantes.
Até onde sei, só resta o método de tentativa e erro ....

A meu ver o argumento é incoerente. Se o esboço gráfico das funções f(x) = 2^x e g(x) = x², que são funções amplamente conhecidas a nível do ensino médio é inviável, não faz sentido sugerir a função de Lambert para solucionar o problema, pois a função W sequer é abrangida pelo escopo do ensino médio.

Tentativa e erro não me parece uma boa saída justamente pelo fato de você não saber quantas soluções tem o problema. O que te permite ter major noção acerca da quantidade de soluções da igualdade é a continuidade de ambas as funções além da conformação gráfica, algo que é obtido plotando os gráficos.

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