Estatística

Relembrando a primeira mensagem :

Gente estou com problemas em um exercício de estatística .. o assunto é de ensino médio podem ficar tranquilos ..

Os dados abaixo referem-se à dureza de 30 peças de alumínio. Montar a distribuiçao de frequências contínua, utilizando valores inteiros para limites das classes. Em seguida, calcule Pm ( ponto médio), Fr e Fac.





gente primeiro eu organizei em Rol arredondando cada valor.. ficando:




entao organizei em 6 classes pela Fórmula de Sturges..
Para cada intervalo de classe deu amplitude 7 fazendo h= AA/ i=95-51/6=7,3 ~7

só q na ultima classe i=6 a contagem nao pegou o 95 aí eu completei .. isso estaria errado? observem como ficou :

É só uma representação... 50 |-- 58 são todos os dados de 50 até 58 (incluindo o 50 e excluindo o 58).

entaoo mas o 50 nao esta nos dados.. bom foi assim q eu aprendi

1) Rol (Conjunto Ordenado, feito riscando-se os valores quando colocados, para não repetí-los):

X = { 50,7;51,1;52,4;53,0;53,4;53,5;54,1;55,3;55,7;55,7;59,5;63,5;64,3;67,3;69,1;69,5;70,2;70,5;71,4;72,3;73,0;74,4;77,8;78,5;82,5;82,7;84,3;85,8;87,5;95,4
}

2) n(X) = 30

3) moda(X) = 55,7

4) média(X) = 67,81

5) mediana(X) = (X₁₅ + X₁₆) / 2 = 69,30

6) desvioPadrãoAmostral(X) = 12,73

7) min(X) = 50,7 ; max(X) = 95,4

8) amp(X) = 44,7

9) ampClasse = arred( amp / n° de classes, grupos ou categorias ) = arred( 44,7 / 7) = 6

i	X	k	F(k)
1	50,7	1
2	51,1	1
3	52,4	1
4	53,0	1
5	53,4	1
6	53,5	1
7	54,1	1
8	55,3	1	10
9	55,7	1
10	55,7	1
11	59,5	2
12	63,5	2
13	64,3	2	3
14	67,3	3
15	69,1	3
16	69,5	3
17	70,2	3
18	70,5	3
19	71,4	3	6
20	72,3	4
21	73,0	4
22	74,4	4
23	77,8	4
24	78,5	4	5
25	82,5	5
26	82,7	5
27	84,3	5	3
28	85,8	6
29	87,5	6	2
30	95,4	7	1
	2034,4

No século passado, antes do advento da computação eletrônica, era necessário a agrupação em classes (categorias, grupos...) para minimizar as contalhadas.

O processo para se descrever uma amostra era trabalhoso e chato, muitas contas, muitos erros.

Alguns, inclusive eu, chamavam a Estatística de "Esta Titica", ainda mais que os professores e professoras eram péssimos ! Quase nunca eram da profissão...

Felizmente, atualmente temos máquinas e programas para fazer as intermináveis contas, mas, como sempre, precisamos fazer o separador de orelhas funcionar. Temos que pensar no que a descrição da amostra nos diz.

Como uma imagem vale mais do que um bocado de palavras, o Histograma —a distribuição de frequências para variáveis aleatórias contínuas — é um bom e sintético método gráfico para termos uma idéia, um cheiro, uma pista de como os dados se distribuem.

A média (tendência central, ponto de equilíbrio da distribuição) e o desvio padrão (desvio, variabilidade), o CV, curtose, assimetria (os ditos momentos), traduzem numericamente o histograma.

Moda e Mediana e outros quartis, decis ou percentis são medidas de tendência central simplistas. Quem gosta é a turma do "achismo", o pessoal das áreas sociais e biológicas , discplinas que terminam em "gia". O pessoal das áreas que acabam em "ica", quase nunca as usam.

Se temos os dados originais, sejam relativos a características contínuas ou descontínuas (discretas), não agrupados, são definidos, para essa amostra***:


*** Subentender somatórios de: i=1 até n, grandezas nos somatórios indexadas por i.

Frequência Absoluta := F(X) ≡ nº de ocorrências de um valor

Nº total de ocorrências ou nº de elementos na amostra := n = ∑( F(X) )

Frequência Relativa := f(X) ≡ F(X) / n = F(X) / ∑( F(X) )

moda(X) ≡ {X | freq(X) é máxima }

mediana(X) ≡ X | até X se tem 50% dos elementos amostra (2° quartil, 5º decil, 50° percentil...)

média(X) ≡ ∑(X) / n = ∑(X) / ∑( F(X) ) ≡ X

desvio(X) ≡ X - média(X)

desvio²(X) ≡ [desvio(X)]²

média dos desvios²(X) ou Desvio Médio Quadrático ou Desvio Quadrático Médio := media( d²(X) ) ≡ ∑( d²(X) ) / n

Variância da Amostra := s²(X) = s² = d². n / (n - 1)

Desvio Padrão da Amostra := s(X) = s

Fórmula Operacional Para média(d²) , s², s :

d² = ∑(X - X)² / n = ∑(X² - 2 X.X + X²) / n =

(∑(X²) - 2X ∑(X) + ∑(X²) ) / n =

∑(X²) / n - 2X ∑(X)/n + n.(X)² / n =

X² - 2X . X + (X)² =

X² - (X)² ■

d² = X² - (X)²

Muito melhor:

1) Calculamos a média(X) = X

2) Calculamos o quadrado da média (X)²

3) Calculamos a média dos quadrados de X = X²

4) Subtraimos o quadrado da média da média dos quadrados e obteremos o Desvio Quadrático Médio: d² = X² - (X)²

5) Para achar a variância basta multiplicar o DQM pelo fator n /(n-1): s² = d² . n / (n-1)

6) Para achar s ... pimba !


Ainda com o intuito de diminuir a quantidade de dígitos, facilitar as contas e minimizar os erros, fazemos duas coisas:

1) Agrupamos os dados em "categorias" (classes ou grupos ou intervalos...) e supomos que os valores nessas classes se distribuem linearmente, o que, via de regra, NÃO É VERDADE e, portanto, vai acarretar erros operacionais, teremos sempre valores aproximados e aumentaremos a margem de erro, já que escolhemos o CENTRO DA CLASSE para representar toda a classe. Observe nossa classe 2: o centro da classe x = 61 vai ser ponderado com a frequência da classe 2, "fazendo de conta" que ele ocorreu 3 vezes...

A média então será calculada, aproximadamente por:

media(X) = X ≈ ∑( x.F(x) ) / n ≈ ∑( x.f(x) )

2) Uma transformação linear na variável X, transformando-a em Z:

Z = (X - X*) / a

Eu e alguns outros autores costumam usar 7 classes (categorias, grupos...).

O X* é o centro da classe da 4ª categoria.

O a é a amplitude da classe real, ou a distância entre os centros de classe, ou a distância entre os limites superiores ou inferiores, reais ou nominais.

Mas, se não se quiser usar nada disso, tudo bem, as contas vão complicar mas vai dar certinho.

Fazemos dessa forma para que os valores dos elementos de Z sejam sempre:

Z = {..., -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3 ...}

Aí, aí sim, as contas ficam fáceis, além de diminuir drasticamente a quantidade de erros fortuitos, nas cópias, nas contas etc.

Lembre-se sempre de que: A cada dez coisas, erramos uma...

Aí, em vez de acharmos tudo para X achamos para Z:

Z ≈ ∑( z.F(z) ) / n

Z² ≈ ∑( z².F(z) ) / n

d²(Z) ≈ Z² - (Z)²

E aí, finalmente fazemos a transformação inversa:

X ≈ a.Z + X*

d²(X) ≈ a². d²(X)

s²(X) ≈ d²(X) . n / (n - 1)

s(X) ≈ √ ( s²(X) )


As tabelas: ==> PRÓXIMO POST !

k	Limites Nominais		Limites Reais		x	F	f
1	51	57	50,5	57,5	54	10	33,33%
2	58	64	57,5	64,5	61	3	10,00%
3	65	71	64,5	71,5	68	6	20,00%
4	72	78	71,5	78,5	75	5	16,67%
5	79	85	78,5	85,5	82	3	10,00%
6	86	92	85,5	92,5	89	2	6,67%
7	93	99	92,5	99,5	96	1	3,33%
						30	100,00%

X	FAC	FAD
50,5	0	30
57,5	10	20
64,5	13	17
71,5	19	11
78,5	24	6
85,5	27	3
92,5	29	1
99,5	30	0

x	F	x.F	x².F	z= (x-75)/7	z.F	z².F
54	10	540	29.160	-3	-30	90
61	3	183	11.163	-2	-6	12
68	6	408	27.744	-1	-6	6
75	5	375	28.125	0	0	0
82	3	246	20.172	1	3	3
89	2	178	15.842	2	4	8
96	1	96	9.216	3	3	9
	30	2.026	141.422	0	-32	128
	X	67,53	Z	-1,07	X	67,51
	X²	4.714,07	Z²	4,27	s²(X)	158,76
	(X)²	4.560,30	(Z)²	1,14	s(X)	12,60
	d²(X)	153,77	d²(Z)	3,13
	s²(X)	159,07	s²(Z)	3,24
	s(X)	12,61	s(Z)	1,80

Gráficos ==> PRÓXIMO POST

Note o triângulo vermelho: Ponto onde "meto o dedo" (!!!)  para equilibar o Histograma ===> MÉDIA !!!









A mediana podemos estimar graficamente ou fazermos uma interpolação na class a que ela pertence:

50 % de  30 = 15

64,5	13	17
71,5	19	11

Então ela está em [64,5; 71,5]

Viva Thales !!!! (Ou, para quem gosta de complicar: equação da reta que passa por 2 pontos...)

(71,5 - 64,5) / (19 - 13) = (71,5 - m) / (19 - 15)

7 / 6 = (71,5 - m) / 4

71,5 - m = 4 . 7 / 6

m = 71,5 - 4 . 7/ 6

m = 66,83


Sem Thales, pensando:

(19 - 13) / (71,5 - 64,5) =  6/7

Pra cada 7 unidades de X, Fac cresce 6 ...

Estou em (64,5; 13) , preciso andar 2 de Fac , ou seja 1/3 de 6...

Então tenho que andar 1/3 de 7 = 2,33...

64,5 + 2,33 = 66,83

E chega d' Esta Titica !