simulado de mat

por lucas.alves Qui 13 Dez 2012, 15:46

abcd +abc + bcd +cda +dab + ab + bc+ cd + da + ac + bd +a + b + c + d = 2009. O valor de a + b + c + d

por **Elcioschin** Qui 13 Dez 2012, 16:04

abcd = 1000*a + 100*b + 10*c + d
abc = 100*a + 10*b + c
bcd = 100*b + 10*c + d
cda = 100*c + 10*d + a
dab = 100*d + 10*a + b
ab = 10*a + b
bc = 10*b + c
cd = 10*c + d
da = 10*d + a
ac = 10*a + c
bd = 10*b + d
+a + b + c + d

Some todos os a, todos os b, todos os c e todos os d

Por exemplo 1133a + m*b + n*c + p*d = 2009

Único valor possível para a = 1

Leve 1133 para o 2º membro e prossiga

por lucas.alves Qui 13 Dez 2012, 17:46

muito obrigado mestre Very Happy

por **Elcioschin** Qui 13 Dez 2012, 18:43

lucas

Conseguiu descobrir os valores de b, c, d ? Quais são?

Tens a resposta? A resposta é 9 ?

por lucas.alves Qui 13 Dez 2012, 19:18

mestre,percebi um equivoco da minha parte,na questao fala que: a,b,c e d sao quatro inteiros positivos . opçoes sao 73,75,77,79 e 81

por aprentice Qui 13 Dez 2012, 21:50

Já vi a resolução de questões similares, sem dúvida nenhuma é nivel olimpico de 3 fase.
Acho que consigo resolver reproduzindo a idéia (pera só jantar antes).
Mas engraçado esse seu simulado, já que nem no ITA/IME caem questões desse nivel (e olha que fiz matemática hoje).

por lucas.alves Qui 13 Dez 2012, 22:00

simulado colégio naval e epcar

por **ramonss** Qui 13 Dez 2012, 22:27

abcd +abc + bcd +cda +dab + ab + bc+ cd + da + ac + bd +a + b + c + d = 2009

Seja P(x) um polinômio cujas raízes são a, b, c e d:
P(x) = qx^4 + wx^3 + rx^2 + tx + y

==> -w/q = a + b + c + d
==> r/q = ab + bc+ cd + da + ac + bd
==> -t/q = abc + bcd +cda +dab
==> y/q = abcd

∴ (-w + r - t + y)/q = 2009

Será que é por aí?

por aprentice Qui 13 Dez 2012, 22:30

É bem por ai, ramonns.
Só que q = 1 e você já usa as relações diretamente no polinomio (seria mais algo como t + q + r + s = 2009, P(x) = x^4 - ... + ...)

por aprentice Sáb 05 Jan 2013, 01:36

É bem simples, na realidade.Eu que tinha esquecido a representação polinomial em função das raizes (erro enorme).
P(x) = x^4 - tx^3 + qx^2 -rx + s
P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)
P(-1) = 2009 + 1 => (a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 2010
(a + 1)(b + 1)(c + 1)(d + 1) = 2*3*5*67
A soma pedida a + b + c + d só pode ser, então:
2 + 3 + 5 + 67 - 4 = 73