simulado ITA/IME

por Convidado Qui 03 Jan 2019, 15:40

Ache o valor de sen(pi/7)sen(2pi/7)sen(3pi/7).

por **Giovana Martins** Qui 03 Jan 2019, 15:56

Eu fiz aqui e o resultado é √7/8.

Essa questão não é muito difícil, não e é um pouco "manjada" para quem estuda para IME/ITA.

Vou deixar o início da resolução e daqui há pouco eu termino. Só vou almoçar.

\\8u^2=1-\left [ cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right ) \right ]+\underset{M}{\underbrace{\left [ cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right ) \right ]}}-\underset{N}{\underbrace{cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right )}}

\\\sum_{i=1}^{n}cos\left [\frac{\pi (2i-1)}{2n+1} \right ]=cos\left ( \frac{\pi }{2n+1} \right )+cos\left ( \frac{3\pi }{2n+1} \right )+...+cos\left [ \frac{\pi (2n-1)}{2n+1} \right ]=\frac{1}{2}\\\\\sum_{i=1}^{n}cos\left [\frac{2\pi i}{2n+1} \right ]=cos\left ( \frac{2\pi }{2n+1} \right )+cos\left ( \frac{4\pi }{2n+1} \right )+...+cos\left [ \frac{2\pi n}{2n+1} \right ]=-\frac{1}{2}\\\\2M= 2cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+2cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )+2cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )

2M=\underset{-cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )}{\underbrace{cos\left ( \frac{8\pi }{7} \right )}}+\underset{-cos\left ( \frac{5\pi }{7} \right )}{\underbrace{cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )}}+\underset{-cos\left ( \frac{3\pi}{7} \right )}{\underbrace{cos\left ( \frac{10\pi }{7} \right )}}+cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )\to M=-\frac{1}{2}

Agora eu vou calcular o produto da parcela N.

\\N=cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right )\to 2N=\left [2cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )cos\left ( \frac{3\pi }{7} \right ) \right ]cos\left ( \frac{\pi }{7} \right )\to\\4N=cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )+1+cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )

Aqui eu usei um malabarismo. Após aplicar Prostaférese, eu multipliquei os dois lados da equação que eu obtive por 2 e cheguei nessa última igualdade. Daí:

4N=1+cos\left ( \frac{2\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{4\pi }{7} \right )+cos\left ( \frac{6\pi }{7} \right )\to N=\frac{1}{8}

Somando tudo...

\\u= \frac{\sqrt{7}}{8}\ \vee\ u= -\frac{\sqrt{7}}{8}\\\\sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )>0,sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )>0,sen\left ( \frac{3\pi }{7} \right )>0\\\\\therefore \ sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )sen\left ( \frac{3\pi }{7} \right )>0\\\\ \boxed {sen\left ( \frac{\pi }{7} \right )sen\left ( \frac{2\pi }{7} \right )sen\left ( \frac{3\pi }{7} \right )=\frac{\sqrt{7}}{8}}

Nota: a resolução ficou longa, mas tem algumas coisas aí que dava pra ter sido suprimida caso fosse uma questão de alternativas. Além disso, alguns valores aí são bem conhecidos, por exemplo, a soma cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(6pi/7) sempre aparece nessas questões e é meio que decorado que isso vale -1/2. O mesmo vale para o produto designado por N que vale 1/8. A parcela designada por M é ligeiramente conhecida também. A princípio, parece ser uma questão difícil, mas eu disse que era simples, porque há meio que um roteiro para resolver questões nesse estilo, a começar pelo primeiro passo da resolução onde você já multiplica os dois lados por dois e assim vai... Enfim, ficou um pouquinho bagunçado, mas se tiver dúvidas, avise-me.

por **Giovana Martins** Qui 03 Jan 2019, 18:36

Tá aí. Se eu não me engano tem uma forma de resolver isso usando uma combinação de De Moivre com uma expansão binomial, mas eu não tenho muita familiaridade com isso. Talvez o colega fantecele (ele já me ajudou algumas vezes com isso Smile

) pode te ajudar com isso caso ele veja esta postagem e saiba resolver usando essa ideia.

por **fantecele** Qui 03 Jan 2019, 20:23

Opa, primeiro vou fazer usando polinômios, por que eu acho polinômios massa Razz

Primeiro perceba que os valores que satisfazem sen(4x) = sen(3x) são 0, ∏/7, 2∏/7, 3∏/7. Elevando ao quadrado iremos obter sen²(4x) = sen²(3x) e os valores que satisfazem são 0, ∏, ∏/7, 2∏/7, 3∏/7, 4∏/7, 5∏/7, 6∏/7. Agora vamos encontrar o polinômio que possui como raízes os senos desses ângulos ai de cima. Para isso, basta desenvolver sen²(4x) = sen²(3x).

$\\(3sen(x)-4sen^3(x))^2=(4sen(x)cos(x)-8sen^3(x)cos(x))^2\\(3sen(x)-4sen^3(x))^2=(1-sen^2(x))(4sen(x)-8sen^3(x))^2\\Desenvolvendo:\\sen^2(x)(64sen^6(x)-112sen^4(x)+56sen^2x-7)=0$

É fácil ver que os valores para x = 0 e ∏ estão no sen²(x) e o restante dos valores estão naquele polinômio do sexto grau.

Da relação acima tiramos que:

sen(∏/7).sen(2∏/7).sen(3∏/7).sen(4∏/7).sen(5∏/7).sen(6∏/7) = 7/64

Perceba que sen(∏/7) = sen(6∏/7), sen(2∏/7) = sen(5∏/7), sen(3∏/7) = sen(4∏/7), portanto:

sen²(∏/7).sen²(2∏/7).sen²(3∏/7) = 7/64
sen(∏/7).sen(2∏/7).sen(3∏/7) = (√7)/8

Vish, por De Moivre seria no caso por raízes da unidade? Não estou lembrado muito não, mas de certa forma tem De Moivre nas raízes da unidade.

$\\z^7-1=\prod_{k=0}^{6}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{7} \right ) \right )\\\\(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z^1+z^0)=\prod_{k=0}^{6}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{7} \right ) \right )\\z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z^1+z^0=\prod_{k=1}^{6}\left ( z-cis\left ( \frac{2k\pi}{7} \right ) \right )\\Fazendo\,\,\,z=1:\\\\7=\prod_{k=1}^{6}\left ( 1-cis\left ( \frac{2k\pi}{7} \right ) \right )$

Utilizando:

$1-cis(\theta)=-2isen\left ( \frac{\theta}{2} \right )cis\left ( \frac{\theta}{2} \right )$

$\\7=\prod_{k=1}^{6}\left ( -2isen\left ( \frac{k\pi}{7} \right )cis\left ( \frac{k\pi}{7} \right ) \right )\\\\Tirando\,\,\,o\,\,\,m\acute{o}dulo:\\7=\prod_{k=1}^{6}2sen\left ( \frac{k\pi}{7} \right )\\\prod_{k=1}^{6}sen\left ( \frac{k\pi}{7} \right )=\frac{7}{64}\\\prod_{k=1}^{3}sen\left ( \frac{k\pi}{7} \right )=\frac{\sqrt{7}}{8}$

Nesse final ai foi usado sen(∏/7) = sen(6∏/7), sen(2∏/7) = sen(5∏/7), sen(3∏/7) = sen(4∏/7).

por **Giovana Martins** Qui 03 Jan 2019, 20:47

Aí, o fantecele sempre salva hehe.

"Vish, por De Moivre seria no caso por raízes da unidade? Não estou lembrado muito não, mas de certa forma tem De Moivre nas raízes da unidade."

Ah, eu me confundi. O que usa a expansão binomial era para demonstrar uma série trigonométrica que eu estava tendo trabalho para demonstrar...

por **Mateus Meireles** Qui 03 Jan 2019, 20:57

Tem uma prova para o caso geral em um outro fórum

https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=20419

https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?f=3&t=19131

https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=54705

por **Giovana Martins** Qui 03 Jan 2019, 21:05

Obrigada, Mateus.

Eu já postei uma questão que pedia essa demonstração por aqui, mas eu não consegui achar.

Obrigada pela contribuição.

por **paulinoStarkiller** Qui 03 Jan 2019, 21:11

Sério, gente, fico impressionado o quanto aprendo com vocês nesse fórum. Que resoluções bonitas!

por **fantecele** Qui 03 Jan 2019, 22:10

"Aí, o fantecele sempre salva hehe."
Oloco meu kkk

Acho que o que a Giovana falou foi esse tópico aqui https://pir2.forumeiros.com/t151332p15-produtorio-de-cossenos

No caso ali é do produto dos cossenos, acrescentando aquelas demonstrações ali, teria uma parecida com essa que eu fiz ali por último no tópico dos cossenos, só que no lugar do 1+cis(x) coloca 1-cis(x), como eu fiz na resolução ali.