Determine os possíveis valores

Determine os possíveis valores de a e b, com a,b E Z, de modo que o polinômio p(x) ax² +3x-7 seja divisível por x-b.

p(x) = ax² + 3x - 7|____x-b______

ax²/x = ax(x-b) => ax² - axb

(ax²+3x-7) - (ax² - axb) = x(ab + 3) - 7

x(ab + 3)/x = ab+3(x-b) => x(ab+3) - ab² - 3b

[x(ab+3) - 7] - [x(ab + 3) - ab² - 3b] => b(ab + 3) -7 = 0 (RESTO)

b(ab+3) = 7(1)
b = 7 e a = -2/7
OU
b = 1 e a = 4

Como chegou na resposta depois que achou o resto? Uma equação e duas variáveis.

alguém poderia explicar novamente esta questão ?

R:

a = 4 e b = 1 ou a = -4 e b = -1 

gostaria de saber como faz e se o gabarito está correto, pois não gostaria de deixar a questão pra trás...obrigado

p(x) = ax² + 3x - 7 --> divísivel por x -b, logo:

ab² + 3b - 7 =0 --> temos uma eq do segundo grau em b, então joguemos no Bhaskara:

b = -3 ± √9 + 28a / 2a ----> perceba que a e b devem pertencer aos inteiros, então a não pode ser negativo, senão teríamos um complexo. Temos que substituir valores na expressão até acharmos valores inteiros... Encurtando o processo, digo que dará certo com a = 4 e a = 10, veja:
 pra a = 4

b = -3 ± √121/8 ---> b= -3 ±11/8 --> b =1(descartamos -14/8 pq é racional).

para a = 10

b = -3 ± √289/20 ---> b = -3 ±17/20---> b = -1( descartamos 14/20 pq é racional).

A partir daqui, os valores das raízes achadas quando somadas com -3 vão ser sempre menores que o denominador(2a), impedindo que existam mais soluções inteiras(veja esse resultado na calculadora).

S(a,b)={(4,1)U(10,-1)}

Acho que é isso... se eu tiver cometido algum erro, por favor me corrijam. Abraços 

paulinoStarkiller, obrigado pela ajuda.
então, resolvi de forma diferente, mas obtive os mesmos resultados...também estou achando que houve erro de gabarito.
obtive: a = 4 e b = 1 ou a = 10 e b = -1