Possiveis valores da soma

Num torneio de tiro ao alvo cada atirador dispara três setas contra
um alvo. A pontuação obtida depende das região de valores 1, 3, 7 ou 12 do alvo atingida,
Se um atirador acertar com as suas três setas no alvo, quantas possibilidades existem para os valores da sua
pontuação?
a)13
b)17
c)19
d)20
e)21

Spoiler:

Achei uma solução não muito prática

Suponhamos estas pontuações.

12 12 ? - Neste caso, o último dígito poderia ser 1, 3, 7, 12, ou seja:
36, 31, 27, 25. 4 possibilidades.

12 7 ? - Agora, já não podemos usar o 12. São 3 possibilidades.
26, 22, 20.

12 3 ? - 2 possibilidades: 18, 16.

12, 12, 1 - 1 Possibilidade: 24.

7, 7 ? - 3 Possibilidades: 21, 17, 15.

7, 3, ? - 2 Possibilidades: 13, 11.

7, 1, 1 - 1 Possibilidade: 9.

3, 3, ? - 2 Possibilidades: 9, 7. Como já se tem 9, há somente 1.

E agora, só sobrou 3, 1, 1 que é igual 5 e 1, 1, 1 que é igual a 3, ou seja, 2 possibilidades.

Somando, dará 19.
Mas acho que deve ter solução mais prática.

Obrigado gustavolz
Essa questão foi tirada da prova canguru matemático. São 30 problemas para serem resolvidos em 1h e meia, deve haver um meio mais rápido xP.
Eu fiz de um jeito não muito prático também. Irei postar minha resolução de qualquer forma.

Temos que a maior pontuação possível é 12+12+12=36
e a menor 1+1+1=3
logo, os valores devem estar num intervalo fechado entre 3 e 36.
Pronto, agora basta analisar se é possível formar cada número com os valores das região do alvo
3 = 1+1+1
4 não
5 = 3+1+1
6 não
...
e assim sucessivamente

Com certeza tem um jeito mais rápido que o meu haha.