Equação polinomial - (raízes recíprocas)

Resolver a equação 2x^4 – x³ - 14x² + 19x – 6 = 0 sabendo que existem duas raízes recíprocas.
R= {2, 1/2, 1, - 3}

Olá,

Solução encontrada em Fundamentos da Matemática - Gelson Iezzi.

2x^4 – x³ - 14x² + 19x – 6 = 0 => x^4 - (1/2)x³ - 7x² + (19/2)x - 3 = 0

(I) r1 + r2 + r3 + r4 = 1/2

(II) r1*r2 + r1*r3 + r1*r4 + r2*r3 + r2*r4 + r3*r4 = - 7

(III) r1*r2*r3 + r1*r2*r4 + r1*r3*r4 + r2*r3*r4 = - 19/2

(IV) r1*r2*r3*r4 = - 3

(V) r1 = 1/r2 ( condição do problema )

De (V) em (IV): (1/r2)*r2*r3*r4 = - 3 => r3*r4 = - 3 ((IV')

De (V) em (III): r1*r2*(r3+r4) + r3*r4*(r1+r2) = - 19/2 =>

1*(r3+r4) - 3*[(1/2) - r3 - r4 ] = - 19/2

r3 + r4 = - 2 (III')

Resolvendo o sistema (III'), (IV'), resulta:

r3 = 1 e r4 = - 3 (ou vice-versa)

De (I) e (IV) temos o sistema:

r1 + r2 = 5/2

r1*r2 = 1

r1 = 2 e r2 = 1/2 (ou vice-versa)

S = { 2, 1/2, 1, - 3 }


um abraço.