Progressão Aritmética

a) Quantos são os números inteiros múltiplos de 7 e menores que 1000?
b) Quantos são os inteiros positivos múltiplos de 7 e de 11 e menores do que 10.000?
c) Quantos números inteiros existem, de 100 a 500, que não são divisíveis por 8?

ps:Qual a dica para se fazer esse exercicio?Nunca consigu determinar o a[n]..eu divido direto o número..

Olá,

a) Temos uma P.A. de primeiro termo igual a 7 e razão 7

O maior múltiplo de 7 menor que 1000 será:

1000/7 = 142,8 => maior múltiplo = 142*7 = 994

an = 994

então:

994 = 7 + (n-1)*7 => 987 = (n-1)*7 => n-1 = 141 => n = 142.


b) análogo ao item "a" porém para que seja múltiplo de 7 e de 11 ele dever ser múltiplo de
7*11 = 77

a1 = 77 e r = 77

O último número múltiplo de 77 e menor que 10000 será:

10000/77 = 129,8 -> 129*77 = 9933

an = 9933

então:

9933 = 77 + ( n - 1 )*77 => 9933 - 77 = 77*(n-1) => n - 1 = 9856/77 => n - 1 = 128 =>

n = 129


c) temos que:

a1 = menor número múltiplo de 8 e maior que 100

a1 = 104

an = maior número múltiplo de 8 menor que 500

an = 496

então:

496 = 104 + (n-1)*8 => 392 = (n-1)*8 => n-1 = 49 => n = 50.

Como queremos os número que não são divisíveis por 8 então:

de 100 a 500 temos (500-100+1) = 401 números

logo:

401 - 50 = 351 números.

Um abraço.

Até agora ñ consegui entender de onde surgi esse 1 ''...de 100 a 500 temos (500-100+1) = 401 números...''

Não tem logica!

Hola.

okinawa2 escreveu:Até agora ñ consegui entender de onde surgi esse 1 ''...de 100 a 500 temos (500-100+1) = 401 números...''

Não tem lógica!

Tem bastante lógica, veja:

Vc pode contar de 100 até 500 para saber a quantidade de números, só que é cansativo e podes errar na contagem.

Podes usar essa fórmula: a_n = a_1 + (n - 1)*r, vamos ver:
a_n = 500
a_1 = 100
n ==> vc quer saber
r = 1, colocando na fórmula, temos:

500 = 100 + ( n-1)*1
500 = 100 + n - 1, virando a equação:
100 + n - 1 = 500
n = 500 - 100 + 1, daqui saiu o que o José Carlos fez.
n = 401

O que o José Carlos fez foi reduzir essa fórmula, nada mais do que isso. Na realidade é um ótima opção pois se vc proceder como fez o nosso amigo José Carlos não é necessário se lembrar de da fórmula toda.

Vamos fazer um exemplo com uma quantidade menores de números:

Quantos números temos de 1 até 3, inclusive:
vc conta: 1, 2, e 3, deu três números. Certo?

Fazendo de acordo com o nosso amigo José Carlos:
[(3 - 1) + 1] = [2 + 1] = 3.

outro: Quantos números temos de 50 até 55, inclusive:
[(55 - 50) - 1] = 5 + 1 = 6

Esse 1 vc pode considerar como sendo sempre o último número da contagem.

Vc ainda acha que não tem lógica?

Olá Robalo,

Agradeço pela ótima explicação ao amigo okinawa2, estou certo que eu não teria feito com a mesma competência e clareza.

Um grande abraço.

Hola José Carlos.

É muita modéstia da sua pessoa. Com certeza vc faria bem melhor do que eu.
De qualquer forma agradeço as sua simpáticas palavras.

Robalo escreveu:Hola.

okinawa2 escreveu:Até agora ñ consegui entender de onde surgi esse 1 ''...de 100 a 500 temos (500-100+1) = 401 números...''

Não tem lógica!

Tem bastante lógica, veja:

Vc pode contar de 100 até 500 para saber a quantidade de números, só que é cansativo e podes errar na contagem.

Podes usar essa fórmula: a_n = a_1 + (n - 1)*r, vamos ver:
a_n = 500
a_1 = 100
n ==> vc quer saber
r = 1, colocando na fórmula, temos:

500 = 100 + ( n-1)*1
500 = 100 + n - 1, virando a equação:
100 + n - 1 = 500
n = 500 - 100 + 1, daqui saiu o que o José Carlos fez.
n = 401

O que o José Carlos fez foi reduzir essa fórmula, nada mais do que isso. Na realidade é um ótima opção pois se vc proceder como fez o nosso amigo José Carlos não é necessário se lembrar de da fórmula toda.

Vamos fazer um exemplo com uma quantidade menores de números:

Quantos números temos de 1 até 3, inclusive:
vc conta: 1, 2, e 3, deu três números. Certo?

Fazendo de acordo com o nosso amigo José Carlos:
[(3 - 1) + 1] = [2 + 1] = 3.

outro: Quantos números temos de 50 até 55, inclusive:
[(55 - 50) - 1] = 5 + 1 = 6

Esse 1 vc pode considerar como sendo sempre o último número da contagem.

Vc ainda acha que não tem lógica?

O que eu tinha feito era o seguinte...eu calculei o valor total e achei naquele intervalo de 100 e 500 o número total de multiplos de ..alguma coisa..aí..eu fiz 500-100...intuitivamente achei q esse serioa o número de termos total..então só pra ver se eu entendi..o número total de termos é..401, pois ele vai contar tb o número 100 correto? Numa linguagem mais ''matematica'' eu poderia dizer que esse intervalo é ... n razoes pertencem a um intervalo >=100 e <=500.!Correto?!?!

Olá,

Correto.

Um abraço.