Área do tronco de cone

por guuigo Dom 20 Out 2024, 15:48

Um cone reto de 8 cm de altura e raio da base 6 cm foi seccionado por um plano paralelo à base gerando um tronco de cone. Se a altura do tronco de cone é metade da altura do cone, a superfície total do tronco de cone, em cm², é
(A) 45 π (B) 75 π (C) 90 π (D) 150 π (E) 180 π

gabarito:

Se as alturas seguem a proporção de 1/2, por que eu não posso considerar a área lateral do tronco como metade da área lateral do cone? Ou seja, Alat. = π.R.g/2 → π.6.10/2????

por matheus_feb Dom 20 Out 2024, 16:00

guuigo escreveu:Um cone reto de 8 cm de altura e raio da base 6 cm foi seccionado por um plano paralelo à base gerando um tronco de cone. Se a altura do tronco de cone é metade da altura do cone, a superfície total do tronco de cone, em cm², é
(A) 45 π (B) 75 π (C) 90 π (D) 150 π (E) 180 π
gabarito:

Se as alturas seguem a proporção de 1/2, por que eu não posso considerar a área lateral do tronco como metade da área lateral do cone? Ou seja, Alat. = π.R.g/2 → π.6.10/2????

A área varia quadraticamente. Quando você assume que, pela proporção de 1:2, a medida varia também pela metade, isto está totalmente equivocado - pois você estaria considerando uma variação linear, não quadrática. Basta olhar para a figura caso seja seccionado pela metade da altura total do cone. Percebemos que a lateral da baixo é bem maior que a lateral de cima.

Uma saída é calcular a área lateral do cone inteiro, a área do cone superior gerado na seção da altura total e subtrair os valores encontrados.

por **Medeiros** Seg 21 Out 2024, 04:19

Resolvendo para deixar completo.

o cone original e o superior (após o corte a meia altura) são semelhantes. A razão dessa semelhança é dada por:
k = (h/2)/h = 1/2

a relação entre as respectivas superfícies laterais é:

S'/S = k²

onde
S = área lateral do cone original
S' = área lateral do cone superior
portanto

S'/S = (1/2)² ----> S' = S/4

Seja Sx = área lateral do tronco de cone.

Sx = S - S' = S.(1 - 1/4) -----> Sx = (3/4).S
.:. Sx = (3/4).\(\pi\).R.g

R=6 e, por Pitágoras, g=10. Então

Sx = (3/4).\(\pi\).6.10 -----> Sx = 45\(\pi\)

Porém a superfície total do cone (S) compreende a superfície lateral mais as duas áreas circulares das bases.

S = Sx + \(\pi\).R² + \(\pi\).r²

se R=6 e a altura foi cortada ao meio, então o raio da base menor é r=3 (isto sai por semelhança de triângulos - é a base média)

S = 45\(\pi\) + 36\(\pi\) + 9\(\pi\) -----> S = 90\(\pi\)