Inequacao

[latex]\dfrac{f(x)}{g(x)} \geq 1 \Leftrightarrow \dfrac{2x+1}{x-3} \geq 1 \Leftrightarrow \dfrac{x+4}{x-3} \geq 0[/latex]

Como é uma divisão, façamos o jogo de sinais, com uma tabela:
          ---------- (-4) ---------- (3) ---------
x + 4        -         |        +        |       +
x - 3         -         |        -         |       +
-------------------------------------------------
               +         |        -         |       +
Então, pra x < -4 e pra x > 3 dá positivo. Os zeros são quando um deles se anula (-4 ou 3), mas o 3 não pode, porque dividir por 0 é crime. Logo a solução é: [latex]x \leq -4\text{ ou }x>3.[/latex]

Além disso uma dúvida muito comum é: "Por que não posso prosseguir assim?"
f(x)/g(x) >= 1 <=>
f(x) >= g(x) <=>
2x + 1 >= x - 3
x >= -4
E a resposta é simples: eu altero a ordem do sinal de inequação se multiplico por número negativo, isto é, no caso de x - 3 ser negativo, tenho de girar o sinal. Então, a resolução deve ser:
I. se g(x) > 0 => x > 3:
f(x)/g(x) >= 1 <=> f(x) >= g(x), daí x >= -4. Como x > 3, então deve (I): x > 3
II. se g(x) < 0 => x < 3
f(x)/g(x) >= 1 <=> f(x) <= g(x) e a solução é x <= -4. Com x < 3, (II): x <= -4
Juntando os dois, x <= -4 ou x > 3.

Mas em relação ao sinal de x+4, por que teve que ter um sinal e por que ele não tem nd a ver com maior ou igual a 0? Teve caso q so o denominador teve, o x-1 nao igualou

rick_547

Não entendi porque vc diz "x+4, por que teve que ter um sinal e por que ele não tem nada a ver com maior ou igual a 0?"

Note que, na tabela de sinais do colega Lipo_f o numerador x + 4 pode ser negativo, nulo e positivo.
E, na mesma tabela o denominador x + 3 pode ser positivo ou negativo, MAS, não pode ser nulo

O que importa é que o produto dos sinais do numerador e do denominador seja positivo OU nulo, para a atender a inequação original(isto acontece apenas quando ambos são positivos, ambos negativos ou quando o numerador é nulo)

Imagino que vc saiba montar a tabela de sinais (varal).
Diga, então, qual parte da solução do colega Lipo_f você não entendeu