Ondas e hidrostática

Uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por um bloco de massa m = 1,0 kg, como mostra a figura abaixo. A distância entre P e Q é L = 1,40 m e, inicialmente, existem cinco nós na onda estacionária formada na corda. Mergulha-se o bloco em um líquido até 3/5 da sua altura e verifica-se o surgimento de mais um nó na corda. Sabendo que a densidade linear da corda é 0,2 kg/m, determine a densidade do bloco em relação à densidade ρ do líquido.

Vamos calcular o comprimento de onda :
Primeiro caso:

Pelos dados da questão:

4.λ/2 = 1,4
2λ = 1,4
λ = 0,7m

Descobrindo a frequência :

v = √(F/μ)
F = mg

0,7.f = √(10 / 0,2)
0,49.f² = 100/2
f² = 50/0,49
f = 5√2/0,7

f = 50√2/7 Hz

Segundo caso:

5λ/2 = 1,4
λ = 2,8/5
λ = 0,56m

Para determinarmos a tração na água, decorre que :

T + E = P
T = P - E
T = mg - dVg

Onde d é a densidade do líquido e V o volume do bloco.

Mas podemos escrever o volume do bloco através da sua densidade:
d'=m/V
V = m/d'
Mas como é colocado 3/5 da altura , temos 3/5 de V Logo :

(3/5)V = (3/5)m/d'

Então :

T = mg - (3/5)d(m/d')g
T = 10 - 6 (d/d')

Jogando na fóruma de Tylor novamente :

0,56.50.√2/7 = √[10 - 6 (d/d') / 0,2]

Quadrando :
0,56².50².2/7² = [10 - 6 (d/d') ]/ 0,2
0,56².50².2/7² = [100 - 60 (d/d') ]/ 2

64 = 100 - 60 (d/d')
-36 = - 60.(d/d')
6.6/6.10 = d/d'
6/10 = d/d'

Como ele quer a densidade do bloco (d') em relação a do liquido(d) , devemos inverter a igualdade:

d'/d = 10/6 = 5/3

Resposta :

ρ/ρ' = 5/3

Inicialmente, temos:
P=T (em módulo)
mg=T
Considerando g=10m/s²
T=10N

Depois, teremos:

T=P-E
T=mg-ρ.vs.g
T=10-ρ.(3/5)V.10

Como a frequência só depende da fonte, ela não varia:

f1=f2
v2/λ1=v2/λ2

Mas, pela fórmula de Taylor, v=sqrt(T/u), sendo u a densidade linear
sqrt(T1)/sqrt(u).λ1=Sqrt(T2)/sqrt(u).λ2

λ1=L/2=0,7m
λ2=2L/5=0,56m

sqrt(10)/0,7=sqrt(10-6ρ.V)/0,56
10/0,49=(10-6ρ.V)/0,3136
ρ.V=0,6

V=m/d
V=1/d
Logo, ρ.V=ρ/d=0,6


Espero que seja isso e que te ajude.

Hygorvv,

Não seria o inverso ?

Ele quer a densidade do bloco em relação ao líquido. Achei 5/3 , que é o inverso de 3/5.

Veja que as respostas são as mesmas
ρ/d=0,6 <-> d/ρ=1/0,6=5/3

Sim..
Mas no caso de uma prova objetiva , estiverem as alternativas :

(A) 3/5
(B) 5/3
..
..


Qual marcar ?

Pergunto isso porque na minha solução achei que ρ(bloco)/ρ(liquido) = 5/3.. :drunken:

5/3, é a densidade do bloco em relação ao líquido.

Obrigado !