Demosntração de probabilidade

A seguinte afirmação trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos ,A ou B,ocorra.Prove que :

Para simplificar minha vida e a sua vou usar as seguintes notações:

A ou B ≡ A U B ≡ A + B

A e B ≡A ∩ B ≡ AB

AB' + A'B ≡ A Δ B

não(C) ≡ C ≡ C'

Universo: U ≡ 1

Vazio: Ø ≡ 0

Agora, Então, Vamos Lá !




AB' + A'B ≡ A Δ B


Sabendo-se que:

1 ) A + B = A'B + AB + A'B'

2 ) Idempotência

E + E = E

EE = E

3 ) Identidade (Elemento Neutro)

0 + E = E

1E = E

4 ) Aniquilação

0E = 0

1 + E = 1

5 ) Complementação

E + E' = 1

EE' = 0

6 ) Comutatividade:

AB = BA

A + B = B + A

7 ) Associatividade:

A + (B + C) = (A + B) + C

A(BC) = (AB)C

8 ) Transitividade:

A = B e B = C então A = C

9 ) Dupla Complementação (Dupla Negação)

(A')' = A

10 ) De Morgan

(A + B)' = A'B'

(AB)' = A' + B'

11) Distributividade

A(B + C) = AB + AC

A + BC = (A + B)(A + C)

12) Absorção

A(A+B) = A

A+ AB = A

A (A' + B) = AB

A + A'B = A + B

13 ) Nº de Elementos da União:

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB)

14 ) Probabilidade:

P(E) ≡ n(E)/n(U)


Tem-se:

n(AB' + A'B) = n(AB') + n(A'B) - n(AB'A'B) (13)

Mas:

AB'A'B = (AA')BB' = 0BB' = 0 (4)(6)

n(0) = 0

Então:

n(AB' + A'B) = n(AB') + n(A'B)

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB)

Mas:

A + B = AB' + AB + A'B

Pois:

AB' + AB + A'B =

AB' + AB + A'B + AB = (2)

A(B+B') + B(A+A') = (11)

A1 + B1 = (3)

A + B

Ou "VENDO" no "Diagrama de Venn"

Logo:

n(A + B) =

n((AB' + A'B) + AB) =

n(AB' + A'B) + n(AB) - n((AB'+A'B)(AB)) =

n(AB' + A'B) + n(AB) - n(0) =

n(AB' + A'B) + n(AB)

Teremos:

n(A + B) = n(A) + n(B) - n(AB)

n(A + B) = n(AB' + A'B) + n(AB)

n(AB' + A'B) + n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB)

Finalmente:

n(AB' + A'B) = n(A) + n(B) - 2.n(AB)

Dividindo por n(U) ambos os termos:

n(AB' + A'B)/n(U) = n(A)/n(U) + n(B)/n(U) - 2.n(AB)/n(U) (14)

Chegamos a:

P(AB' + A'B) = P(A) + P(B) - 2P(AB) ■