IME - 1981 - Complexos

Relembrando a primeira mensagem :

Mostre que para todo n natural teremos:


O que eu errei?
Um é conjugado do outro:

Então:


Mas repare que a a TANGENTE do argumento é 1/2. Sendo assim o ângulo é de 37/2... (da pra provar que tg37/2 é 1/2 construindo um triângulo retângulo 3, 4, 5 e prolongando o segmento 3 em 5...)

Suponhamos que ambos sejam iguais, e passemos para a forma trigonométrica:


desenvolvendo encontraremos que a igualdade irá ocorrer somente se:

Lembrando que como um é conjugado do outro eles tem argumentos de sinais contrários...

Repare que sen(-@)= - sen(@) para todo @.
Portanto teremos:

Então:


Sendo que a condição necessária passa a ser a de que 37n/2 seja um múltiplo de 180.
Fica fácil perceber que 37.360/2 é válido, ou qualquer múltiplo de 360...
Portando ficaria: n=360k; k pertencente aos naturais.

Onde ta errado? Era pra chegar em um absurdo, ou em uma solução impossível, mas chegamos em uma solução... o que ta errado?

VEJAM SE MINHA RESOLUÇÃO ESTA CORRETA POR FAVOR!dividi em dois casos:
se n for par, entao:
2+i=+-(2-i)
2+i=2-i (absurdo)
2+i=-2+i (absurdo)
se n for impar:
2+i=2-i(absurdo)
Logo são sempre diferentes...LOL!

Boa noite, amigos!

Peço perdão por reviver o tópico, porém, me deparei com essa questão e tô bem encucado com ela na vdd...
Infelizmente, apesar de ser bem rica, eu n consegui compreender a resolução dada pelo colega Rihan...

Em uma das minhas tentativas, tentei tbm transformar os complexos dados para suas formas exponenciais, porém, desenvolvendo, cheguei apenas que os argumentos dos complexos dados são diferentes(oq já sabemos)...

Gostaria de pedir a ajuda de vcs nessa daí!
Obrigado!  

OBS.: Quanto a sua resolução, colega dlemos, vejo ela como uma boa saída, para caso a questão fosse adaptada para uma de múltipla escolha... Mas creio que a banca poderia aceitar ela, vc usando de "n" par ou "n" ímpar! Talvez seja uma resolução mt boa para um tempo de prova bem curto do ime kkkk.

Olá novamente Floral Fury;

A proposta do colega Rihan é a seguinte os números [latex](2+i)[/latex] e [latex](2-i)[/latex] são conjugados, portanto ele procurou saber qual a condição para a existência da igualdade [latex]z^n = \bar z^n[/latex] onde z= 2+i, ambos os números tem o mesmo módulo, resta analisar os argumentos. Seja [latex]\theta [/latex] o argumento principal de [latex]z[/latex]:

[latex]arg(z^n) \equiv n\cdot arg(z) \equiv n \cdot \theta \text{ }(mod \text{ }\text{ }2\pi )
arg(\bar z^n) \equiv n\cdot arg(\bar z) \equiv n \cdot (-\theta) \text{ }(mod \text{ }\text{ } 2\pi)[/latex]

[latex]z^n = \bar z^n \implies arg(z^n) \equiv arg(\bar z^n) \text{ }(mod \text{ }\text{ }2\pi) \implies n \cdot \theta \equiv n \cdot (-\theta) \text{ }(mod \text{ }\text{ } 2\pi) \implies [/latex]
[latex]\exists k,\text{ }\text{ } k \in \mathbb{Z}\text{ }\text{ } | \text{ }\text{ }\text{ } n \cdot \theta = n \cdot (-\theta) + 2 k \pi \implies \exists k, k \in \mathbb{Z}\text{ }\text{ } | \text{ }\text{ } n \theta = k \pi[/latex]

Eu achei um errinho nesta parte que sucede:

rihan escreveu:O máximo de reflexão que poderíamos ter aí é que: é que, em sendo n Natural e k Inteiro, θ é algum mútiplo inteiro de Π ou n o é, o que seria absurdo para um Natural ser múltiplo inteiro de um irracional...

Informações necessárias para a justificativa do erro:

[latex]\theta[/latex] é argumento principal e é claramente não nulo, do contrário (2+i) seria um número real [latex]\implies 0 < \theta <2\pi \implies \theta >0[/latex]
Como [latex]\text{ } n ,\text{ } \pi \text{ }\text {e} \text{ } \theta [/latex] são maiores que zero então, o mesmo vale para [latex]k[/latex] o que implica que [latex]k>0, \text{ } k \in \mathbb{Z} \implies k\in \mathbb{N}^*[/latex]

Pela hipótese de que não existe resposta segue que:

[latex] \forall k, n \text{ }\in \mathbb{N}^*, \text{ }n \theta \neq k \pi \implies \text{ } \frac{\theta}{\pi} \neq \frac{k}{n} \text{ } \text{e } \text{ } \theta \neq \frac{k}{n}\pi
[/latex]

justificativa:
Note que em [latex]\theta \neq \frac{k}{n} \cdot \pi[/latex], o fator [latex]\frac{k}{n}[/latex] é racional, mas não necessariamente um valor inteiro.Para tornar claro o que estou dizendo suponha que [latex]\theta = \frac{400}{401} \pi \text{ }[/latex] note que [latex]\exists k, n |\text{ } n\theta = k\pi [/latex], pois podemos tomar k =400 e n =401. Ou seja, devemos analisar essa hipótese e provar que [latex]\theta \neq \frac{400}{401}\pi [/latex]

A abrangência da demonstração seguindo essa vertente dever ser algo como:

[latex]
\forall k, n \text{ }\in \mathbb{N}^*, \text{ }n \theta \neq k \pi \implies \text{ } \frac{\theta}{\pi} \neq \frac{k}{n} \text{ } \text{e } \text{ } \theta \neq \frac{k}{n}\pi \implies
\frac{\theta}{\pi} \not\in \mathbb{Q}_+, \frac{\theta}{\pi} >0 \implies \frac{\theta}{\pi} \in (\mathbb{R}_+ - \mathbb{Q}_+) [/latex]

Resumindo: Deve-se mostrar que[latex]\frac{\theta}{\pi} [/latex] é irracional positivo com [latex] 0 < \frac{\theta}{\pi} < 2 [/latex], ou ainda provar que [latex] \theta = \phi \cdot \pi [/latex], onde [latex]\phi[/latex] é irracional positivo, [latex]0 < \phi < 2[/latex], mas eis a questão, como? Apesar de não ser conclusiva, a linha de raciocínio é interessante para treinar conteúdo porque aborda várias propriedades.

Vou por-me a pensar em algo para contornar isso, se eu achar algo eu volto aqui.

Bons estudos

[2 + i]ⁿ = [√5.(2.√5/5 + i.√/5] = (√5)ⁿ.[cosθ + i.senθ]ⁿ = (√5)ⁿ.[cos(n.θ) + i.sen(n.θ)]

[2 - i]ⁿ = [√5.(2.√5/5 - i.√/5] = (√5)ⁿ.[cosθ - i.senθ]ⁿ = (√5)ⁿ.[cos(n.θ) - i.sen(n.θ)]

Igualando ambos: (√5)ⁿ.[cos(n.θ) + i.sen(n.θ)] = (√5)ⁿ.[cos(n.θ) - i.sen(n.θ)] --->

cos(n.θ) + i.sen(n.θ) = cos(n.θ) - i.sen(n.θ)---> i.sen(n.θ) =  - i.sen(n.θ) ---> i = - i ---> Falso

Boa noite Mestre Elcioschin,

Acho que mesmo da maneira que você densenvolveu cai no ponto que eu travei, vou usar de um dos últimos pontos da sua resolução.

[latex]isen(n\theta) = - isen(n\theta) [/latex]

A gente só poderia fazer uso da lei de corte se fosse garantia que [latex]\forall n, \text{ } n \in \mathbb{N}^* \text{ }sen(n\theta) \neq 0[/latex]

[latex]isen(n\theta) = - isen(n\theta) \implies (2i) sen(n \theta) = 0[/latex]

Logo 2i = 0 ou sen(nθ) = 0,

2i = 0 é absurdo, ou seja, se existe solução ela satisfaz [latex]sen(n\theta) = 0 \implies n\theta = k\pi, \text{ } k \in \mathbb{Z}[/latex]

A existência de soluções de [latex]n\theta = k\pi, \text{ } k \in \mathbb{Z} \text{ }[/latex] é o mesmo caso da minha explicação anterior.

Acredito que o enunciado deveria ser n ∈ ℕ*, isto é, n é inteiro positivo:

θ é um valor irracional: θ ~= 37,4........º

Para senθ = 0 ---> n.θ = k.pi ---> k inteiro ---> n = k.pi/θ ---> n irracional ---> impossível

Levou quase um ano, mas consegui elaborar uma solução em que não se precise discutir a racionalidade/irracionalidade da divisão entre argumento de (2+i) e PI. No fim, para fugir dessa discussão do argumento, eu acabei por usar o mínimo possível das propriedades dos números complexos.

1º Lema : Para qualquer n natural ímpar a desigualdade [latex](2+i)^n \neq (2-i)^n[/latex] é mantida. Demonstração:

Spoiler:

2º Lema: [latex](2+i)^{2n} + (2-i)^{2n} \neq 0[/latex] para todo n natural , [latex]n \ge 1[/latex]. Demonstração:

Spoiler:

3º Lema: [latex](2+i)^n + (2-i)^n \neq 0 [/latex] para n natural ímpar. Demonstração:

Spoiler:

Indução: [latex](2+i)^{n \cdot 2^k} - (2-i)^{n \cdot 2^k}\neq 0 \implies (2+i)^{n \cdot 2^{(k+1)} } - (2-i)^{n \cdot 2^{(k+1)}}\neq 0[/latex] com k um natural , [latex]k \ge 0[/latex] e n um natural ímpar. Demonstração:

Spoiler:

Bons estudos