IME - 1981 - Complexos

Mostre que para todo n natural teremos:


O que eu errei?
Um é conjugado do outro:

Então:


Mas repare que a a TANGENTE do argumento é 1/2. Sendo assim o ângulo é de 37/2... (da pra provar que tg37/2 é 1/2 construindo um triângulo retângulo 3, 4, 5 e prolongando o segmento 3 em 5...)

Suponhamos que ambos sejam iguais, e passemos para a forma trigonométrica:


desenvolvendo encontraremos que a igualdade irá ocorrer somente se:

Lembrando que como um é conjugado do outro eles tem argumentos de sinais contrários...

Repare que sen(-@)= - sen(@) para todo @.
Portanto teremos:

Então:


Sendo que a condição necessária passa a ser a de que 37n/2 seja um múltiplo de 180.
Fica fácil perceber que 37.360/2 é válido, ou qualquer múltiplo de 360...
Portando ficaria: n=360k; k pertencente aos naturais.

Onde ta errado? Era pra chegar em um absurdo, ou em uma solução impossível, mas chegamos em uma solução... o que ta errado?

jvfreitas escreveu:

Então:


Mas repare que a a TANGENTE do argumento é 1/2. Sendo assim o ângulo é de 37/2... (da pra provar que tg37/2 é 1/2 construindo um triângulo retângulo 3, 4, 5 e prolongando o segmento 3 em 5...)

Isto está errado.

arctg(1/2) = 26°,565.... = 0,46364761 rad

(x + yi)^n = (x - yi)^n , n Natural.

(re^(θi))^n = (re^(-θi))^n

e^(nθi) = e^(-nθi)

nθi = -nθi

2nθi = 0

nθi = 0

vale para:

θ = k Π, k Inteiro

ou

n = 0

No seu caso, 0< θ < Π/6 e n é Natural

Como o IME segue aos americanos, para eles os Naturais não contém o ZERO.

Então, impossível.

Para não entrarmos na controvérsia dos naturais:

nθi = -nθi

para θ ≠ k Π e n > 0

1 = -1 !!!

Puts! Verdade... Mas rihan... é tg(53/2), errei na hora de ver 37... 53...
No caso ficaria n múltiplo de 360/2...

Que droga. Na prova eu erraria com certeza, eu ia colocar 53/2 e ia errar -.-!
Bom que eu já vo ficando esperto com essas coisas né, qualquer coisa eu uso euler mesmo que ai não tem erro.. valeu!!!
Essa demonstração sua ficou bem melhor, teve uma que eu vi que usou congruência, nada a ve... nunca que alguém ia pensar em congruencia mod 10 pra demonstrar isso né...

Valeu man!

O ruim é que assim também tem suas complicações.
Do jeito que você escreveu, você supos que nθ=k.180 com k inteiro nunca irá se satisfazer... Será que valeria?

jvfreitas escreveu:O ruim é que assim também tem suas complicações.
Do jeito que você escreveu, você supos que nθ=k.180 com k inteiro nunca irá se satisfazer... Será que valeria?

tg(53°/2)= tg(26°,5) = 0,49858161..... também não é, está próximo, mas não é.

Sabemos que é um ângulo menor do que 30° ( √3/3≈ 0,58 ) e maior do que 0°. Fora isso, só chegaremos bem perto com desenvolvimento em série.

Mas é o suficiente.

Lembre-se de que é importante você "ler" o que está escrito:

Elevar um complexo a um natural é multiplicar seu argumento por esse natural. Esqueça-se do módulo, ambos estão crescendo o mesmo.

O que um "andar" angularmente o outro também vai "andar".

Só pode ser satisfeita essa relação se o complexo não tiver parte imaginária, isto é, um real qualquer, argumento 0° ou 180° e seus côngruos, ou ainda, o complexo e seu conjugado fossem iguais. Ou, se a potência for zero... o que valeria para qualquer complexo.

Quando escrevi:

nθ = kΠ

(e não nθ = k.180°)

Eu não supus nada, foi uma das soluções que surgiu pela hipótese de que complexo e conjugado elevados a um mesmo natural fossem iguais.

O máximo de reflexão que poderíamos ter aí é que: é que, em sendo n Natural e k Inteiro, θ é algum mútiplo inteiro de Π ou n o é, o que seria absurdo para um Natural ser múltiplo inteiro de um irracional...

Ou seja, a única solução para n Natural é o Complexo ser um Real, que não é o seu caso.

Ou, no seu caso, sem cair na controvésia dos Naturais: só é válida se o Natural for ZERO, então não é válida para TODOS os Naturais.

Valeu pela explicação... Ajuda muito mesmo!!!

Mas sobre:

O máximo de reflexão que poderíamos ter aí é que: é que, em sendo n Natural e k Inteiro, θ é algum mútiplo inteiro de Π ou n o é, o que seria absurdo para um Natural ser múltiplo inteiro de um irracional...

No exercício o argumento poderia ser Π/6 por exemplo.
Então n.θ/6=k.Π
Essa relação seria satisfeita para n = 6 e k=1.. Ou seja, na verdade n.θ que não poderia ser múltiplo inteiro de pi... E pra afirmar isso eu teria que conhecer exatamente θ, não?
O que eu quero dizer, é que pra dizer que nθ=kΠ não é válida, eu teria que conhecer exatamente θ, para poder afirmar que ele não pode ser escrito na forma Π/k ; com k inteiro... Ta errado isso que eu falei? :s

Desculpa ta te enchendo tanto assim ;s! mas você está me ajudando bastante, já passei enxergar alguns passos de forma diferente. Valeu

Você não está enchendo ! !

Se você ainda está perguntando é por você estar com dúvidas ...

Eu é que estou falando uma linguagem que você não compreendeu, ou tem algo errado na minha solução ...

Vamos tentar de outra forma:

Qual a diferença angular entre um complexo e seu conjugado ?

Se o ângulo de um for θ o do outro é -θ, certo ?

Então a diferença Δθ será sempre 2θ, certo?

Ao elevarmos um complexo e seu conjugado a um Natural diferente de zero, n, a diferença vai ser:

Δθ = nθ - n(-θ) = nθ + nθ = 2nθ

Para eles serem iguais a diferença entre seus argumentos tem que ser 0 ou 2kΠ, certo ?

O que podemos reunir em 2kΠ, certo ?

2nθ = 2kΠ

nθ = kΠ

Para k = 0, teremos ou θ=0 ou n=0, certo ?

Para k = 1, teremos n = Π/θ, como n é Natural, θ tem quer ser Π/m , onde m é outro Natural diferente de 0.

Por exemplo, para m = 2, n = 2 e θ = Π/2, logo -θ = -Π/2.

Vamos supor o complexo i e seu conjugado -i:

i² = -1

(-i)² = i² = -1 . OK

Para m = 3, n = 3 e θ = Π/3, logo -θ = -Π/3

Vamos supor o complexo cis(Π/3) e seu conjugado cis(-Π/3).

cis(Π/3)³ = cis(Π) = cos(Π) - sen(Π) = -1

cis(-Π/3)³ = cis(-Π) = cos(-Π) - sen(-Π) = -1 OK

Para m = 6, n = 6 e θ = Π/6, logo -θ = -Π/6, argumento acima do do seu caso.

Vamos supor o complexo cis(Π/6) e seu conjugado cis(-Π/6).

Ao elevarmos a 6:

cis(Π) = -1

cis(-Π) = -1


O próximo seria m = 7, n = 7 e θ = Π/7, logo -θ = -Π/7, argumento abaixo do do seu caso, já que seu argumento é 26°,565 ou 0,46364761 rad, e Π/7 ≈ 0,449.

Logo, para o seu caso, exceto a solução n = 0, não teremos solução para quaqluer outro n natural.

Viu como é bom insistir quando não se compreende ? !

Portanto você está correto na sua afirmação e a minha solução estava errada !

Sim sim ! Valeuuu!
Seria difícil calcular isso em uma prova , mas a resolução é válida.
Muito bem explicado. Muito obrigado!!!
Me ajudou bastante..

Uma maneira de calcular isto em uma prova poderia ser a seguinte:

Você sabe que θ < Π/6, certo ?

Sobra o Π/7...

Será que o seu θ = Π/7 ??? ???

Basta você elevar o seu complexo a 7 .

Se o resultado não der argumento Π, não é !!!

E você vai saber se passa ou não de Π ... , isto é se é maior ou menor do que Π/7 ...

Saudações brasileiras !

E Vamos Lá ! :bom: !