Análise Combinatória | VUNESP PROFESSOR TEMPORÁRIO

No estudo de problemas de contagem, uma situação usual apresenta pessoas com determinadas características e solicita os números de diferentes maneiras de se escolher algumas delas. Por exemplo, considere o seguinte problema: Em um passeio estão 3 adultos e 7 crianças. Para uma atividade, deverá ser formado um grupo com 4 dessas pessoas, de maneira que o grupo tenha pelo menos 1 adulto. Determine o número de grupos distintos que podem ser formados. Uma resolução usual, e errada, que muitos alunos fazem, tem como resposta 3⋅C9,3, com o raciocínio de selecionar 1 dos 3 adultos e depois selecionar uma combinação de 3 pessoas escolhidas entre as 9 restantes. Essa resposta está errada porque conta mais grupos do que deveria e uma possibilidade de determinar a resposta correta é descobrir quantos grupos foram contados a mais e subtrair esse número da resposta do aluno, ou seja, para o problema dado como exemplo, basta subtrair de 3⋅C9,3 o valor de: (A) 2⋅C7,2 + 1⋅C7,1 (B) 3⋅C7,2 + 1⋅C7,1 (C) 3⋅C7,2 + 2⋅C7,1 (D) 2⋅C7,2 + 2⋅C7,1 (E) 1⋅C7,2 + 2⋅C7,1

SrVictor escreveu:No estudo de problemas de contagem, uma situação usual apresenta pessoas com determinadas características e solicita os números de diferentes maneiras de se escolher algumas delas. Por exemplo, considere o seguinte problema: Em um passeio estão 3 adultos e 7 crianças. Para uma atividade, deverá ser formado um grupo com 4 dessas pessoas, de maneira que o grupo tenha pelo menos 1 adulto. Determine o número de grupos distintos que podem ser formados. Uma resolução usual, e errada, que muitos alunos fazem, tem como resposta 3⋅C9,3, com o raciocínio de selecionar 1 dos 3 adultos e depois selecionar uma combinação de 3 pessoas escolhidas entre as 9 restantes. Essa resposta está errada porque conta mais grupos do que deveria e uma possibilidade de determinar a resposta correta é descobrir quantos grupos foram contados a mais e subtrair esse número da resposta do aluno, ou seja, para o problema dado como exemplo, basta subtrair de 3⋅C9,3 o valor de: (A) 2⋅C7,2 + 1⋅C7,1 (B) 3⋅C7,2 + 1⋅C7,1 (C) 3⋅C7,2 + 2⋅C7,1 (D) 2⋅C7,2 + 2⋅C7,1 (E) 1⋅C7,2 + 2⋅C7,1

Deve haver pelo menos um adulto em cada grupo. Temos as seguintes possibilidades:

1 | 1 adulto + 3 crianças = C_3,1 . C_7,3 = 105

2 | 2 adultos + 2 crianças = C_3,2 . C_7,2 = 63

3 | 3 adultos + 1 criança = C_{3,3 . C7,1} = 7

Somando-os: 105 + 63 + 7 = 175

Logo: 3 . C_9,3 - x (valor a ser subtraído para dar o valor correto) = 175
252 - x = 175
     x = 77

A única opção que resulta em 77 é a letra C)