Plano inclinado + momento de inércia
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Plano inclinado + momento de inércia
Uma bola de massa m, raio R e momento de inércia βmR^2 é liberada do repouso de cima de um plano inclinado de massa M e ângulo de inclinação θ , como mostra a figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a aceleração horizontal do plano.
![Plano inclinado + momento de inércia Imagem15](https://i.servimg.com/u/f78/20/55/16/81/imagem15.png)
![Plano inclinado + momento de inércia Imagem15](https://i.servimg.com/u/f78/20/55/16/81/imagem15.png)
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Re: Plano inclinado + momento de inércia
Olá.
Vou deixar uma questão com a mesma sacada por trás (colocar no referencial da cunha), já que no referencial do solo fica tudo muito complicado devido ao movimento simultâneo da bola e do plano.
https://pir2.forumeiros.com/t179256-mhs-plano-inclinado#707096
Primeiro, no referencial do solo observe as forças que atuam na esfera:
![Plano inclinado + momento de inércia Captur25](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur25.png)
Da mecânica rotacional:
[latex]I\alpha = \tau \Rightarrow I\alpha = F_fR \\[/latex]
Sendo [latex] a_{cm}[/latex] a aceleração do centro de massa da bola:
[latex]a_{cm} = \alpha R = \frac{F_fR^{2}}{I}\\[/latex]
No plano:
![Plano inclinado + momento de inércia Captur26](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur26.png)
Note que a tendência do plano é ir para a esquerda, devido a conservação do centro de massa na direção x, logo, seja [latex] a_x[/latex] a aceleração adquirida pelo plano
[latex] \Rightarrow Ma_x = Nsen\theta - F_fcos\theta \Rightarrow a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M} [/latex]
No referencial da cunha: (devemos adicionar uma força [latex] ma_x [/latex] para a direita atuando no centro de massa da bola)
![Plano inclinado + momento de inércia Captur28](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur28.png)
Na direção y:
[latex]N + ma_xsen\theta = mgcos\theta[/latex]
Na direção x:
[latex]ma_xcos\theta + mgsen\theta - F_s = ma_{cm} \Rightarrow F_s\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right) = ma_xcos\theta + mgsen\theta \Rightarrow
[/latex]
[latex] \\ F_s = \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}[/latex]
Logo, juntando as equações:
[latex]a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M} = \dfrac{\left( mgcos\theta - ma_xsen\theta \right)sen\theta - \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}cos\theta}{M} \Rightarrow \\
[/latex]
[latex]
a_x\left( M{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} - mgsen\theta cos\theta[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} -mgsen\theta cos\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta{\left( 1+ \beta\right)} + \beta mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x = \frac{mgcos\theta sen\theta}{\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right)}[/latex]
Se manipular certinho, tu chega na expressão do enunciado (já testei), mas não acho necessário.
Vou deixar uma questão com a mesma sacada por trás (colocar no referencial da cunha), já que no referencial do solo fica tudo muito complicado devido ao movimento simultâneo da bola e do plano.
https://pir2.forumeiros.com/t179256-mhs-plano-inclinado#707096
Primeiro, no referencial do solo observe as forças que atuam na esfera:
![Plano inclinado + momento de inércia Captur25](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur25.png)
Da mecânica rotacional:
[latex]I\alpha = \tau \Rightarrow I\alpha = F_fR \\[/latex]
Sendo [latex] a_{cm}[/latex] a aceleração do centro de massa da bola:
[latex]a_{cm} = \alpha R = \frac{F_fR^{2}}{I}\\[/latex]
No plano:
![Plano inclinado + momento de inércia Captur26](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur26.png)
Note que a tendência do plano é ir para a esquerda, devido a conservação do centro de massa na direção x, logo, seja [latex] a_x[/latex] a aceleração adquirida pelo plano
[latex] \Rightarrow Ma_x = Nsen\theta - F_fcos\theta \Rightarrow a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M} [/latex]
No referencial da cunha: (devemos adicionar uma força [latex] ma_x [/latex] para a direita atuando no centro de massa da bola)
![Plano inclinado + momento de inércia Captur28](https://i.servimg.com/u/f91/20/49/82/05/captur28.png)
Na direção y:
[latex]N + ma_xsen\theta = mgcos\theta[/latex]
Na direção x:
[latex]ma_xcos\theta + mgsen\theta - F_s = ma_{cm} \Rightarrow F_s\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right) = ma_xcos\theta + mgsen\theta \Rightarrow
[/latex]
[latex] \\ F_s = \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}[/latex]
Logo, juntando as equações:
[latex]a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M} = \dfrac{\left( mgcos\theta - ma_xsen\theta \right)sen\theta - \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}cos\theta}{M} \Rightarrow \\
[/latex]
[latex]
a_x\left( M{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} - mgsen\theta cos\theta[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} -mgsen\theta cos\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta{\left( 1+ \beta\right)} + \beta mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]
[latex]a_x = \frac{mgcos\theta sen\theta}{\left( M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right)}[/latex]
Se manipular certinho, tu chega na expressão do enunciado (já testei), mas não acho necessário.
JaquesFranco- Jedi
- Mensagens : 224
Data de inscrição : 19/02/2021
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