Plano inclinado + momento de inércia

Uma bola de massa m, raio R e momento de inércia βmR^2 é liberada do repouso de cima de um plano inclinado de massa M e ângulo de inclinação θ , como mostra a figura abaixo. O plano está inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Assumindo que a bola rola sem deslizar ao longo do plano, calcule a aceleração horizontal do plano.          

Gabarito:

Olá.

Vou deixar uma questão com a mesma sacada por trás (colocar no referencial da cunha), já que no referencial do solo fica tudo muito complicado devido ao movimento simultâneo da bola e do plano.
https://pir2.forumeiros.com/t179256-mhs-plano-inclinado#707096

Primeiro, no referencial do solo observe as forças que atuam na esfera:



Da mecânica rotacional:
[latex]I\alpha = \tau \Rightarrow I\alpha = F_fR \\[/latex]
Sendo [latex] a_{cm}[/latex] a aceleração do centro de massa da bola:
[latex]a_{cm} = \alpha R = \frac{F_fR^{2}}{I}\\[/latex]

No plano:



Note que a tendência do plano é ir para a esquerda, devido a conservação do centro de massa na direção x, logo, seja [latex] a_x[/latex] a aceleração adquirida pelo plano
 [latex] \Rightarrow Ma_x = Nsen\theta - F_fcos\theta \Rightarrow  a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M} [/latex]

No referencial da cunha: (devemos adicionar uma força [latex] ma_x [/latex] para a direita atuando no centro de massa da bola)



Na direção y:
[latex]N + ma_xsen\theta = mgcos\theta[/latex]

Na direção x:

[latex]ma_xcos\theta + mgsen\theta - F_s = ma_{cm} \Rightarrow F_s\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right) = ma_xcos\theta + mgsen\theta \Rightarrow
[/latex]
[latex]  \\ F_s = \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}[/latex]


Logo, juntando as equações: 
[latex]a_x = \dfrac{Nsen\theta - F_fcos\theta}{M}  = \dfrac{\left( mgcos\theta  - ma_xsen\theta \right)sen\theta - \frac{ma_xcos\theta + mgsen\theta}{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)}cos\theta}{M} \Rightarrow \\
[/latex]
[latex]
a_x\left(  M{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{mR^{2}}{I} +1\right)} - mgsen\theta cos\theta[/latex]


[latex]a_x\left(  M{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + msen^{2}\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} + mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta{\left( \frac{1}{\beta} +1\right)} -mgsen\theta cos\theta \Rightarrow \\[/latex]

 [latex]a_x\left(  M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta{\left( 1+ \beta\right)} + \beta mcos^{2}\theta \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]

[latex]a_x\left(  M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right) = mgcos\theta sen\theta \Rightarrow \\[/latex]

[latex]a_x = \frac{mgcos\theta sen\theta}{\left(  M{\left( 1+ \beta\right)} + msen^{2}\theta + \beta m \right)}[/latex]

Se manipular certinho, tu chega na expressão do enunciado (já testei), mas não acho necessário.