Escola Naval (Geometria Plana) - 1988

Que fração da área da terra pode ser vista por um observador situado a 20 km do solo? Suponha a terra esférica com raio medindo 6 300 km.
Oq eu não entendi nessa resolução foi o R²=(R+h)(R-h). Até pensei que fosse por relação métrica no TR (h²=mn), mas como eu vou saber se o segmento O'T é igual a R? 
Resposta: 1/632

Júliawww_520 escreveu:Que fração da área da terra pode ser vista por um observador situado a 20 km do solo? Suponha a terra esférica com raio medindo 6 300 km.
Oq eu não entendi nessa resolução foi o R²=(R+h)(R-h). Até pensei que fosse por relação métrica no TR (h²=mn), mas como eu vou saber se o segmento O'T é igual a R? 
Resposta: 1/632

Respondendo sua primeira dúvida:

1 | R² = (R-h)(h+20)  Por relações métricas no triângulo retângulo. ''O quadrado do cateto é igual ao produto de sua projeção pela hipotenusa''.

2 | Tem certeza que a questão diz que O'T é igual a R? Ao meu ver, essa afirmação é falsa. Considerando O'T o raio da Terra (cateto) e O'O o outro cateto (que é igual ao raio), temos o triângulo retângulo que você desenhou. Portanto, como os dois catetos são iguais, e o triângulo não tem seus três ângulos internos iguais, a hipotenusa nunca será igual aos catetos. Aplique o Teorema de Pitágoras e verá.

Deve ser só falta de atenção isso só. Como você falou,  a igualdade

R² = (R-h)(h+20)  está incorreta. O correto é:

R² - (R-h)² = (R-h)(h+20)

(isso é justamente a relação métrica que você disse juntamente com o teorema de pitagoras pra achar a altura)

Ao desenvolver essa igualdade obtemos:
R² - (R-h)² = (R-h)(h+20)
R² - R² + 2Rh - h² = Rh - h² + 20R - 20h
Rh +20h = 20R
h = 20R / (20+R)

que é justamente o que está lá

Daí é só resolver a questão. Podemos reescrever isso como:

h/R = 20/(20+R)
Usando que R = 6300 segue que:
h/R = 20 / (20 + 6300) = 2/632

Pra concluir, lembramos que a área da calota esférica é 2πRh. Assim, a resposta será:

\( \dfrac{ 2 \pi R h}{ 4 \pi R^2} = \dfrac{h}{2R} = \dfrac 12 \cdot \dfrac 2{632} = \dfrac 1{632}\)

DaoSeek escreveu:Deve ser só falta de atenção isso só. Como você falou,  a igualdade

R² = (R-h)(h+20)  está incorreta. O correto é:

R² - (R-h)² = (R-h)(h+20)

(isso é justamente a relação métrica que você disse juntamente com o teorema de pitagoras pra achar a altura)

Ao desenvolver essa igualdade obtemos:
R² - (R-h)² = (R-h)(h+20)
R² - R² + 2Rh - h² = Rh - h² + 20R - 20h
Rh +20h = 20R
h = 20R / (20+R)

que é justamente o que está lá

Daí é só resolver a questão. Podemos reescrever isso como:

h/R = 20/(20+R)
Usando que R = 6300 segue que:
h/R = 20 / (20 + 6300) = 2/632

Pra concluir, lembramos que a área da calota esférica é 2πRh. Assim, a resposta será:

\( \dfrac{ 2 \pi R h}{ 4 \pi R^2} = \dfrac{h}{2R} = \dfrac 12 \cdot \dfrac 2{632} = \dfrac 1{632}\)

Entendi, amigo. Muito obrigada. Realmente esse R²=(R-h)(R+h)  tava me confundido, não entendi de onde o cara q fez a resolução tirou essa relação.

Júliawww_520 escreveu:Entendi, amigo. Muito obrigada. Realmente esse R²=(R-h)(R+h)  tava me confundido, não entendi de onde o cara q fez a resolução tirou essa relação.

De nada. Acredito que ele só escreveu errado mesmo por falta de atenção, pois ele escreve logo em seguida que h = 20R / (20+R). Não é possível obter isso a partir da igualdade incorreta