ITA /1957 - Limites
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ITA /1957 - Limites
por Júliawww_520 Qua 07 Ago 2024, 15:22
Sabendo que a_n= n!/n^n
Calcule o lim a_(n+1)/a_n com n --->+ ∞ (caso fique alguma dúvida quando ao enunciado, postarei a imagem) **não tenho o gabarito dela.
Calcule o lim a_(n+1)/a_n com n --->+ ∞ (caso fique alguma dúvida quando ao enunciado, postarei a imagem) **não tenho o gabarito dela.
Júliawww_520- Jedi
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Re: ITA /1957 - Limites
por DaoSeek Qua 07 Ago 2024, 17:39
Temos
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{(n+1)!} {(n+1)^{n+1}} } {\dfrac{n!}{n^n} } = \dfrac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^n = \left (\dfrac{n+1}{n} \right)^{-n} = \dfrac{1}{ \left(1+ \dfrac 1n \right)^n }\)
Portanto:
\( \displaystyle \lim \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \ \dfrac{1}{ \lim \left(1+ \dfrac 1n \right)^n} = \dfrac 1e\)
\( \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{\dfrac{(n+1)!} {(n+1)^{n+1}} } {\dfrac{n!}{n^n} } = \dfrac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^n = \left (\dfrac{n+1}{n} \right)^{-n} = \dfrac{1}{ \left(1+ \dfrac 1n \right)^n }\)
Portanto:
\( \displaystyle \lim \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \ \dfrac{1}{ \lim \left(1+ \dfrac 1n \right)^n} = \dfrac 1e\)
DaoSeek- Jedi
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