(Simulado IME) Polinômios

Alien supremo escreveu:Boa noite, Giovanna! Onde você tirou essas questões? Só por curiosidade kkkk

Então, na época do vestibular eu baixava um monte de drive sobre vestibular. Acabou que no meio desses drives tem coisa de tudo quanto é tipo de vestibular. Estes exercícios que eu tenho postado semanalmente são de simulados para a turma IME/ITA. Alguns têm resolução e outros não. Como sei que há um pessoal aqui no fórum que estuda para vestibulares militares, tenho postado as questões aqui para quem se interessar e também por curiosidade minha mesmo, pois a maioria deles eu não sei resolver  .

Esboço:

DaoSeek escreveu:

Uma ideia é analisar os graus dos polinômios envolvidos.

Esboço:

Se o grau de μ(x) for menor que 48, então λ tem que ter grau 16. Vamos assumir esse caso.

Isso implica que λ(x) é mônico. Digamos então que

\( \lambda(x) = x^{16} + a_{15}x^{15} + \cdots +a_0\)

Logo:

\(\lambda(\lambda(x)) =  \lambda(x)^{16} + a_{15}\lambda(x)^{15} + \cdots +a_0 = \lambda(x)^{16} + x^{48} + \mu(x) \)

Notamos que \(\lambda(x)^k\) tem grau 16k. Logo, como \(\mu(x)\) tem grau menor que 48, segue que \(a_{15} = a_{14} = \cdots =a_4 = 0\). Portanto:

\(\lambda(x) = x^{16} + ax^3 + bx^2+cx+d\)

Devemos ter a = 1, visto que \(\lambda(x)^3\) é mônico. Sendo p(x) = bx^2 + cx+d temos:

\( \lambda(x)^3 + \underbrace{p(\lambda(x))}_{\text{grau } \le 32} = x^{48} +\mu(x)\)

\( (x^{16} + x^3 + p(x))^3 = x^{48} + \mu(x)\)

Repare que ao desenvolver o cubo do lado esquerdo obteremos \(x^{48} + 3x^{35} + \cdots\) (não é preciso desenvolver, basta ver que o termo \(x^{35}\) irá aparecer. 

Portanto 35 é a resposta.