(Simulado IME) Polinômios
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(Simulado IME) Polinômios
Infelizmente não tenho a resolução também.
Sejam λ(x) e μ(x) tal que:
\[\mathrm{\lambda (\lambda (x))=\left ( \lambda (x) \right )^{16}+x^{48}+\mu (x)}\]
Determine o menor grau possível de μ(x).
- Spoiler:
- 35
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
DaoSeek gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Polinômios
Boa noite, Giovanna! Onde você tirou essas questões? Só por curiosidade kkkk
Alien supremo- Jedi
- Mensagens : 438
Data de inscrição : 20/08/2022
Idade : 22
Localização : Rio de Janeiro
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Polinômios
Alien supremo escreveu:Boa noite, Giovanna! Onde você tirou essas questões? Só por curiosidade kkkk
Então, na época do vestibular eu baixava um monte de drive sobre vestibular. Acabou que no meio desses drives tem coisa de tudo quanto é tipo de vestibular. Estes exercícios que eu tenho postado semanalmente são de simulados para a turma IME/ITA. Alguns têm resolução e outros não. Como sei que há um pessoal aqui no fórum que estuda para vestibulares militares, tenho postado as questões aqui para quem se interessar e também por curiosidade minha mesmo, pois a maioria deles eu não sei resolver
.
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Eu não sei exatamente onde eu baixei estes materiais. Certamente foi de algum Telegram à época kkk.
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Alien supremo gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Polinômios
A propósito, boa noite!
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Alien supremo gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Polinômios
Uma ideia é analisar os graus dos polinômios envolvidos.
- Esboço:
Se o grau de μ(x) for menor que 48, então λ tem que ter grau 16. Vamos assumir esse caso.
Isso implica que λ(x) é mônico. Digamos então que
\( \lambda(x) = x^{16} + a_{15}x^{15} + \cdots +a_0\)
Logo:
\(\lambda(\lambda(x)) = \lambda(x)^{16} + a_{15}\lambda(x)^{15} + \cdots +a_0 = \lambda(x)^{16} + x^{48} + \mu(x) \)
Notamos que \(\lambda(x)^k\) tem grau 16k. Logo, como \(\mu(x)\) tem grau menor que 48, segue que \(a_{15} = a_{14} = \cdots =a_4 = 0\). Portanto:
\(\lambda(x) = x^{16} + ax^3 + bx^2+cx+d\)
Devemos ter a = 1, visto que \(\lambda(x)^3\) é mônico. Sendo p(x) = bx^2 + cx+d temos:
\( \lambda(x)^3 + \underbrace{p(\lambda(x))}_{\text{grau } \le 32} = x^{48} +\mu(x)\)
\( (x^{16} + x^3 + p(x))^3 = x^{48} + \mu(x)\)
Repare que ao desenvolver o cubo do lado esquerdo obteremos \(x^{48} + 3x^{35} + \cdots\) (não é preciso desenvolver, basta ver que o termo \(x^{35}\) irá aparecer.
Portanto 35 é a resposta.
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
Data de inscrição : 29/07/2022
Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: (Simulado IME) Polinômios
DaoSeek escreveu:Uma ideia é analisar os graus dos polinômios envolvidos.
- Esboço:
Se o grau de μ(x) for menor que 48, então λ tem que ter grau 16. Vamos assumir esse caso.Isso implica que λ(x) é mônico. Digamos então que\( \lambda(x) = x^{16} + a_{15}x^{15} + \cdots +a_0\)Logo:\(\lambda(\lambda(x)) = \lambda(x)^{16} + a_{15}\lambda(x)^{15} + \cdots +a_0 = \lambda(x)^{16} + x^{48} + \mu(x) \)Notamos que \(\lambda(x)^k\) tem grau 16k. Logo, como \(\mu(x)\) tem grau menor que 48, segue que \(a_{15} = a_{14} = \cdots =a_4 = 0\). Portanto:\(\lambda(x) = x^{16} + ax^3 + bx^2+cx+d\)Devemos ter a = 1, visto que \(\lambda(x)^3\) é mônico. Sendo p(x) = bx^2 + cx+d temos:\( \lambda(x)^3 + \underbrace{p(\lambda(x))}_{\text{grau } \le 32} = x^{48} +\mu(x)\)\( (x^{16} + x^3 + p(x))^3 = x^{48} + \mu(x)\)Repare que ao desenvolver o cubo do lado esquerdo obteremos \(x^{48} + 3x^{35} + \cdots\) (não é preciso desenvolver, basta ver que o termo \(x^{35}\) irá aparecer.Portanto 35 é a resposta.
Muito obrigada!
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
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