(Simulado IIT - JEE) Probabilidade e Polinômios
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(Simulado IIT - JEE) Probabilidade e Polinômios
Esta aqui eu não cheguei a tentar, porque eu não tenho muita habilidade com probabilidade. De qualquer modo, deixo quem quiser tentar resolver. Não tenho a resolução em si. Tenho somente o gabarito.
Sejam (m,n) ∈ ℝ escolhidos de modo uniforme, independente e aleatoriamente no intervalo [-10,10]. Deste modo, qual a probabilidade de que o polinômio P(x) = x5 + mx + n tenha exatamente uma raiz real?
Nota: desconsidere casos de multiplicidade de raízes.
- Spoiler:
- \[\mathrm{\frac{45-8\sqrt[4]{\mathrm{2}}}{45}}\]
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: (Simulado IIT - JEE) Probabilidade e Polinômios
Essa não precisa saber quase nada de probabilidade. Basicamente considere o retangulo [-10,10] x [-10,10]. Cada possível valor (m,n) sorteado ta nesse retangulo. Seja A o subconjunto desse retangulo dos pontos (m,n) que satisfazem a condição pedida no problema. A resposta é justamente a área de A dividido pela area total do retangulo (é similar aos "casos favoráveis" / "total de casos" que é ensinado no ensino médio).
O dificil da questão é justamente determinar esse conjunto ai.
O dificil da questão é justamente determinar esse conjunto ai.
- Dicas:
Uma equação do quinto grau sempre tem ao menos 1 raiz real. Podemos garantir que seja exatamente uma raiz analisando a derivada. Se f'(x) > 0 por exemplo, temos f crescente e daí há apenas 1 raiz. Isso acontece pra m >0. Caso seja m < 0, temos dois pontos com derivada nula. Nesse caso, para haver uma única raiz basta que f tenha o mesmo sinal em ambos. Com isso podemos descrever o conjunto A e depois é só calcular sua área.
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
Data de inscrição : 29/07/2022
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