Simulado ITA-Polinômios

por **LPavaNNN** Qua 28 Out 2015, 19:45

Sejam a,b,c , três raízes do polinômio $x^3-3x+1$ . Assinale a alternativa que apresenta o maior valor de :

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c} + \frac{c}{a}$

a)1
b)2
c)3
d)4
e)5

por **Elcioschin** Qua 28 Out 2015, 19:57

Uma dica é usar as Relações de Girard

a + b + c = 0

ab + ac + bc = -3

abc = -1

a/b + b/c + c/a = (a²c + b²a + c²b)/abc

Agora é apenas manipulação algébrica usando as três relações de Girard.

Tente

por **LPavaNNN** Qua 28 Out 2015, 21:34

ja tinha tentado por girard . Provavelmente se reoslve pelas relaões de girard mesmo, mas...

por **Giovana Martins** Dom 14 Jul 2024, 14:01

Seja a identidade trigonométrica adiante:

\[\mathrm{sin(3\theta )=3sin(\theta )-4sin^3(\theta )\to sin^3(\theta )-\frac{3}{4}sin(\theta )+\frac{1}{4}sin(3\theta )=0\ (i)}\]

Agora, vamos pensar no triângulo retângulo adiante:

Do triângulo retângulo acima conclui-se:

\[\mathrm{x=psin(\theta),com\ p>0\ (ii)}\]

\[\mathrm{Substituindo\ (ii)\ em\ f(x):p^3sin^3(\theta)-3psin(\theta)+1=0\leftrightarrow sin^3(\theta)-\frac{3}{p^2}sin(\theta)+\frac{1}{p^3}=0\ (iii)}\]

Comparando (i) e (iii):

\[\mathrm{\frac{3}{4}sin(\theta)=\frac{3}{p^2}sin(\theta)\ \therefore\ p=2}\]

\[\mathrm{\frac{1}{4}sin(3\theta)=\frac{1}{p^3}=\frac{1}{8}\ \therefore\ sin(3\theta)=\frac{1}{2}\ \therefore\ k=\left \{ 0,1,2 \right \}\to \theta =\left \{ \frac{\pi}{18},\frac{13\pi }{18},\frac{25\pi}{18} \right \}}\]

\[\mathrm{\therefore\ (a,b,c)=\left \{ 2sin\left ( \frac{\pi }{18} \right ),2sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right ),2sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right ) \right \}}\]

\[\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{sin\left ( \frac{\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right )}+\frac{sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right )}+\frac{sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{\pi }{18} \right )}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=-6}}}\]

A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.

por DaoSeek Dom 14 Jul 2024, 17:00

Giovana Martins escreveu:
A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.

As raízes estão corretas, o problema foi o seguinte:

Note que a questão da um polinômio cujas raízes são a,b,c e pede o valor máximo da expressão E = a/b + b/c + c/a. Isso a princípio é estranho, pois o polinomio é conhecido, então as raizes deveriam determinar um unico valor da expressão E. Ocorre que a expressão é não é simétrica (é justamente essa assimetria que deixa o problema inviável pelas relações de Girard!!!). Se permutarmos a,b,c obtemos uma expressão parecida, porém não igual. Pra elucidar o que está acontecendo, digamos que as raízes são 1,2,3. Note que se a= 1, b= 2 e c=3, a expressão vale E = 1/2+2/3+3/1. Mas se fizermos a = 1, b = 3, c = 2 obteremos E = 1/3 + 3/2+ 2/1, que é distinto do valor anterior.

Daí a questão faz sentido: Considerando todas as possiveis permutações das raizes, qual o maior valor de E? Na verdade, só existem 2 valores possíveis para E, sendo um deles o que voce encontrou. O outro é:

$\displaystyle \dfrac{\sin (\pi/18)}{\sin (25\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (25 \pi/18)}{\sin (13\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (13 \pi/18)}{\sin (\pi/ 18)} = 3$

A propósito, belíssima solução!!

por **Giovana Martins** Dom 14 Jul 2024, 17:39

DaoSeek escreveu:
Giovana Martins escreveu:
A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.

As raízes estão corretas, o problema foi o seguinte:

Note que a questão da um polinômio cujas raízes são a,b,c e pede o valor máximo da expressão E = a/b + b/c + c/a. Isso a princípio é estranho, pois o polinomio é conhecido, então as raizes deveriam determinar um unico valor da expressão E. Ocorre que a expressão é não é simétrica (é justamente essa assimetria que deixa o problema inviável pelas relações de Girard!!!). Se permutarmos a,b,c obtemos uma expressão parecida, porém não igual. Pra elucidar o que está acontecendo, digamos que as raízes são 1,2,3. Note que se a= 1, b= 2 e c=3, a expressão vale E = 1/2+2/3+3/1. Mas se fizermos a = 1, b = 3, c = 2 obteremos E = 1/3 + 3/2+ 2/1, que é distinto do valor anterior.

Daí a questão faz sentido: Considerando todas as possiveis permutações das raizes, qual o maior valor de E? Na verdade, só existem 2 valores possíveis para E, sendo um deles o que voce encontrou. O outro é:

$\displaystyle \dfrac{\sin (\pi/18)}{\sin (25\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (25 \pi/18)}{\sin (13\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (13 \pi/18)}{\sin (\pi/ 18)} = 3$

A propósito, belíssima solução!!

Muito obrigada!

Entendi perfeitamente. Eu testei apenas uma permutação, que deu o mesmo valor que eu cheguei para a primeira possibilidade. Não cheguei a testar terceira, que chegou ao gabarito. Deveria ter testado Embarassed