Simulado ITA-Polinômios
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LPavaNNN- Grupo
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Giovana Martins gosta desta mensagem
Re: Simulado ITA-Polinômios
Uma dica é usar as Relações de Girard
a + b + c = 0
ab + ac + bc = -3
abc = -1
a/b + b/c + c/a = (a²c + b²a + c²b)/abc
Agora é apenas manipulação algébrica usando as três relações de Girard.
Tente
a + b + c = 0
ab + ac + bc = -3
abc = -1
a/b + b/c + c/a = (a²c + b²a + c²b)/abc
Agora é apenas manipulação algébrica usando as três relações de Girard.
Tente
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Simulado ITA-Polinômios
ja tinha tentado por girard . Provavelmente se reoslve pelas relaões de girard mesmo, mas...
LPavaNNN- Grupo
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Re: Simulado ITA-Polinômios
Seja a identidade trigonométrica adiante:
\[\mathrm{sin(3\theta )=3sin(\theta )-4sin^3(\theta )\to sin^3(\theta )-\frac{3}{4}sin(\theta )+\frac{1}{4}sin(3\theta )=0\ (i)}\]
Agora, vamos pensar no triângulo retângulo adiante:
Do triângulo retângulo acima conclui-se:
\[\mathrm{x=psin(\theta),com\ p>0\ (ii)}\]
\[\mathrm{Substituindo\ (ii)\ em\ f(x):p^3sin^3(\theta)-3psin(\theta)+1=0\leftrightarrow sin^3(\theta)-\frac{3}{p^2}sin(\theta)+\frac{1}{p^3}=0\ (iii)}\]
Comparando (i) e (iii):
\[\mathrm{\frac{3}{4}sin(\theta)=\frac{3}{p^2}sin(\theta)\ \therefore\ p=2}\]
\[\mathrm{\frac{1}{4}sin(3\theta)=\frac{1}{p^3}=\frac{1}{8}\ \therefore\ sin(3\theta)=\frac{1}{2}\ \therefore\ k=\left \{ 0,1,2 \right \}\to \theta =\left \{ \frac{\pi}{18},\frac{13\pi }{18},\frac{25\pi}{18} \right \}}\]
\[\mathrm{\therefore\ (a,b,c)=\left \{ 2sin\left ( \frac{\pi }{18} \right ),2sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right ),2sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right ) \right \}}\]
\[\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{sin\left ( \frac{\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right )}+\frac{sin\left ( \frac{13\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right )}+\frac{sin\left ( \frac{25\pi }{18} \right )}{sin\left ( \frac{\pi }{18} \right )}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=-6}}}\]
A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Simulado ITA-Polinômios
Giovana Martins escreveu:A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.
As raízes estão corretas, o problema foi o seguinte:
Note que a questão da um polinômio cujas raízes são a,b,c e pede o valor máximo da expressão E = a/b + b/c + c/a. Isso a princípio é estranho, pois o polinomio é conhecido, então as raizes deveriam determinar um unico valor da expressão E. Ocorre que a expressão é não é simétrica (é justamente essa assimetria que deixa o problema inviável pelas relações de Girard!!!). Se permutarmos a,b,c obtemos uma expressão parecida, porém não igual. Pra elucidar o que está acontecendo, digamos que as raízes são 1,2,3. Note que se a= 1, b= 2 e c=3, a expressão vale E = 1/2+2/3+3/1. Mas se fizermos a = 1, b = 3, c = 2 obteremos E = 1/3 + 3/2+ 2/1, que é distinto do valor anterior.
Daí a questão faz sentido: Considerando todas as possiveis permutações das raizes, qual o maior valor de E? Na verdade, só existem 2 valores possíveis para E, sendo um deles o que voce encontrou. O outro é:
\(\displaystyle \dfrac{\sin (\pi/18)}{\sin (25\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (25 \pi/18)}{\sin (13\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (13 \pi/18)}{\sin (\pi/ 18)} = 3\)
A propósito, belíssima solução!!
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
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Re: Simulado ITA-Polinômios
DaoSeek escreveu:Giovana Martins escreveu:A meu ver, se eu não interpretei o problema de forma incorreta, as alternativas não conferem, pois as raízes as quais eu cheguei estão corretas. Ademais, tendo as raízes valores fixos, me parecem estranho a expressão atingir um valor máximo, quando me parece que deveria atingir um valor constante.As raízes estão corretas, o problema foi o seguinte:Note que a questão da um polinômio cujas raízes são a,b,c e pede o valor máximo da expressão E = a/b + b/c + c/a. Isso a princípio é estranho, pois o polinomio é conhecido, então as raizes deveriam determinar um unico valor da expressão E. Ocorre que a expressão é não é simétrica (é justamente essa assimetria que deixa o problema inviável pelas relações de Girard!!!). Se permutarmos a,b,c obtemos uma expressão parecida, porém não igual. Pra elucidar o que está acontecendo, digamos que as raízes são 1,2,3. Note que se a= 1, b= 2 e c=3, a expressão vale E = 1/2+2/3+3/1. Mas se fizermos a = 1, b = 3, c = 2 obteremos E = 1/3 + 3/2+ 2/1, que é distinto do valor anterior.Daí a questão faz sentido: Considerando todas as possiveis permutações das raizes, qual o maior valor de E? Na verdade, só existem 2 valores possíveis para E, sendo um deles o que voce encontrou. O outro é:\(\displaystyle \dfrac{\sin (\pi/18)}{\sin (25\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (25 \pi/18)}{\sin (13\pi/ 18)} +\dfrac{\sin (13 \pi/18)}{\sin (\pi/ 18)} = 3\)A propósito, belíssima solução!!
Muito obrigada!
Entendi perfeitamente. Eu testei apenas uma permutação, que deu o mesmo valor que eu cheguei para a primeira possibilidade. Não cheguei a testar terceira, que chegou ao gabarito. Deveria ter testado
.
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Giovana Martins- Grande Mestre
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