(Simulado IME) Polinômios
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(Simulado IME) Polinômios
Esta aqui eu tenho o gabarito, mas não tenho a resolução. Não soube resolver também. Curiosa para ver uma saída.
Quantos polinômios P(x) de grau 4 satisfazem a igualdade P(x²) = P(-x)P(x)?
- Spoiler:
- 10
Giovana Martins- Grande Mestre
- Mensagens : 8137
Data de inscrição : 15/05/2015
Idade : 23
Localização : São Paulo
Re: (Simulado IME) Polinômios
Primeiro observamos que P é um polinomio mônico. De fato, caso o coeficiente líder fosse A, teríamos
P(x²) = Ax⁸ + ...
P(x)P(-x) = A² x⁸ + ...
Daí, A² = A, e como A é distinto de zero segue que 1 é a única opção.
Sejam então a,b,c,d as raízes de P. Podemos escrever:
P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
E isso implica que
P(-x) = (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)
P(x)P(-x) = (x²-a²)(x²-b²)(x²-c²)(x²-d²)
P(x²) = (x²-a)(x²-b)(x²-c)(x²-d)
Assim, a igualdade P(x²) = P(x)P(-x) ocorre se, somente se, a,b,c,d é uma permutação de a²,b²,c²,d².
Agora é só analisar todos os casos:
Caso 1:
a = a², b = b², c = c², d = d²
Nesse caso, a,b,c,d podem ser 0 ou 1. Com isso obtemos os polinomios:
x⁴
x³(x-1)
x²(x-1)²
x(x-1)³
(x-1)⁴
Caso 2:
a = b², b = a²
(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 2").
Isso implica que a = a⁴. Como não queremos 0 ou 1 como raiz, a deve ser uma raiz cubica primitiva da unidade, e b seu conjugado. Isso nos da os polinômios:
x² (x²+x+1)
x(x-1)(x²+x+1)
(x-1)²(x²+x+1)
(x²+x+1)²
Caso 3:
a = b², b = c², c = a²
(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 3")
Isso implica que a = b² = c⁴ = a⁸. Logo, a deve ser uma raiz 7ª da unidade. Sendo \( z = e^{2 \pi i / 7} \) isso nos deixam as possibilidades (dessa vez os polinomios tem coeficientes complexos):
x(x-z)(x-z²)(x-z⁴)
(x-1)(x-z)(x-z²)(x-z⁴)
x(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)
(x-1)(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)
Caso 4:
a=b², b=c², c = d², d = a²
Temos a = b² = c⁴ = d⁸ = a¹⁶. Portanto, a é raiz 15ª da unidade. Sendo \( w = e^{2 \pi i / 15}\) isso nos deixam as possibilidades:
(x-w)(x-w²)(x-w⁴)(x-w⁸)
(x-w⁷)(x-w¹⁴)(x-w¹³)(x-w¹¹)
(x-w³)(x-w⁶)(x-w⁹)(x-w¹²) ---> esse aqui possui coeficientes reais, é igual a 1+x+x²+x³+x⁴
Portanto existem 16 polinomios que atendem a igualdade P(x) P(-x) = P(x²). Desses, 10 tem coeficientes reais:
x⁴
x³(x-1)
x²(x-1)²
x(x-1)³
(x-1)⁴
x² (x²+x+1)
x(x-1)(x²+x+1)
(x-1)²(x²+x+1)
(x²+x+1)²
1+x+x²+x³+x⁴
Obs.: Eu acho que há alguma maneira mais esperta de achar esses polinomios usando que são reais. A principio eu achei que coeficientes complexos seriam admitidos, e daí ficou dessa forma. Eu também escrevi de maneira mais concisa que deveria, então se tiver alguma passagem obscura pode falar!
P(x²) = Ax⁸ + ...
P(x)P(-x) = A² x⁸ + ...
Daí, A² = A, e como A é distinto de zero segue que 1 é a única opção.
Sejam então a,b,c,d as raízes de P. Podemos escrever:
P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
E isso implica que
P(-x) = (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)
P(x)P(-x) = (x²-a²)(x²-b²)(x²-c²)(x²-d²)
P(x²) = (x²-a)(x²-b)(x²-c)(x²-d)
Assim, a igualdade P(x²) = P(x)P(-x) ocorre se, somente se, a,b,c,d é uma permutação de a²,b²,c²,d².
Agora é só analisar todos os casos:
Caso 1:
a = a², b = b², c = c², d = d²
Nesse caso, a,b,c,d podem ser 0 ou 1. Com isso obtemos os polinomios:
x⁴
x³(x-1)
x²(x-1)²
x(x-1)³
(x-1)⁴
Caso 2:
a = b², b = a²
(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 2").
Isso implica que a = a⁴. Como não queremos 0 ou 1 como raiz, a deve ser uma raiz cubica primitiva da unidade, e b seu conjugado. Isso nos da os polinômios:
x² (x²+x+1)
x(x-1)(x²+x+1)
(x-1)²(x²+x+1)
(x²+x+1)²
Caso 3:
a = b², b = c², c = a²
(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 3")
Isso implica que a = b² = c⁴ = a⁸. Logo, a deve ser uma raiz 7ª da unidade. Sendo \( z = e^{2 \pi i / 7} \) isso nos deixam as possibilidades (dessa vez os polinomios tem coeficientes complexos):
x(x-z)(x-z²)(x-z⁴)
(x-1)(x-z)(x-z²)(x-z⁴)
x(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)
(x-1)(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)
Caso 4:
a=b², b=c², c = d², d = a²
Temos a = b² = c⁴ = d⁸ = a¹⁶. Portanto, a é raiz 15ª da unidade. Sendo \( w = e^{2 \pi i / 15}\) isso nos deixam as possibilidades:
(x-w)(x-w²)(x-w⁴)(x-w⁸)
(x-w⁷)(x-w¹⁴)(x-w¹³)(x-w¹¹)
(x-w³)(x-w⁶)(x-w⁹)(x-w¹²) ---> esse aqui possui coeficientes reais, é igual a 1+x+x²+x³+x⁴
Portanto existem 16 polinomios que atendem a igualdade P(x) P(-x) = P(x²). Desses, 10 tem coeficientes reais:
x⁴
x³(x-1)
x²(x-1)²
x(x-1)³
(x-1)⁴
x² (x²+x+1)
x(x-1)(x²+x+1)
(x-1)²(x²+x+1)
(x²+x+1)²
1+x+x²+x³+x⁴
Obs.: Eu acho que há alguma maneira mais esperta de achar esses polinomios usando que são reais. A principio eu achei que coeficientes complexos seriam admitidos, e daí ficou dessa forma. Eu também escrevi de maneira mais concisa que deveria, então se tiver alguma passagem obscura pode falar!
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
Data de inscrição : 29/07/2022
Re: (Simulado IME) Polinômios
DaoSeek escreveu:Primeiro observamos que P é um polinomio mônico. De fato, caso o coeficiente líder fosse A, teríamosP(x²) = Ax⁸ + ...P(x)P(-x) = A² x⁸ + ...Daí, A² = A, e como A é distinto de zero segue que 1 é a única opção.Sejam então a,b,c,d as raízes de P. Podemos escrever:P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)E isso implica queP(-x) = (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)P(x)P(-x) = (x²-a²)(x²-b²)(x²-c²)(x²-d²)P(x²) = (x²-a)(x²-b)(x²-c)(x²-d)Assim, a igualdade P(x²) = P(x)P(-x) ocorre se, somente se, a,b,c,d é uma permutação de a²,b²,c²,d².Agora é só analisar todos os casos:Caso 1:a = a², b = b², c = c², d = d²Nesse caso, a,b,c,d podem ser 0 ou 1. Com isso obtemos os polinomios:x⁴x³(x-1)x²(x-1)²x(x-1)³(x-1)⁴Caso 2:a = b², b = a²(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 2").Isso implica que a = a⁴. Como não queremos 0 ou 1 como raiz, a deve ser uma raiz cubica primitiva da unidade, e b seu conjugado. Isso nos da os polinômios:x² (x²+x+1)x(x-1)(x²+x+1)(x-1)²(x²+x+1)(x²+x+1)²Caso 3:a = b², b = c², c = a²(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 3")Isso implica que a = b² = c⁴ = a⁸. Logo, a deve ser uma raiz 7ª da unidade. Sendo \( z = e^{2 \pi i / 7} \) isso nos deixam as possibilidades (dessa vez os polinomios tem coeficientes complexos):x(x-z)(x-z²)(x-z⁴)(x-1)(x-z)(x-z²)(x-z⁴)x(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)(x-1)(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)Caso 4:a=b², b=c², c = d², d = a²Temos a = b² = c⁴ = d⁸ = a¹⁶. Portanto, a é raiz 15ª da unidade. Sendo \( w = e^{2 \pi i / 15}\) isso nos deixam as possibilidades:(x-w)(x-w²)(x-w⁴)(x-w⁸)(x-w⁷)(x-w¹⁴)(x-w¹³)(x-w¹¹)(x-w³)(x-w⁶)(x-w⁹)(x-w¹²) ---> esse aqui possui coeficientes reais, é igual a 1+x+x²+x³+x⁴Portanto existem 16 polinomios que atendem a igualdade P(x) P(-x) = P(x²). Desses, 10 tem coeficientes reais:x⁴x³(x-1)x²(x-1)²x(x-1)³(x-1)⁴x² (x²+x+1)x(x-1)(x²+x+1)(x-1)²(x²+x+1)(x²+x+1)²1+x+x²+x³+x⁴Obs.: Eu acho que há alguma maneira mais esperta de achar esses polinomios usando que são reais. A principio eu achei que coeficientes complexos seriam admitidos, e daí ficou dessa forma. Eu também escrevi de maneira mais concisa que deveria, então se tiver alguma passagem obscura pode falar!
Esta questão eu fui vendo a resolução ao longo da semana para entender. Esse aqui eu achei bem complicadinha de pensar, embora eu tenha entendido o que você fez.
Nunca estudei para a prova do IME e demais vestibulares militares, mas se for esse o nível de cobrança, é bem complicado de passar nessas provas kkkk.
Muito obrigada, Daoseek!
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: (Simulado IME) Polinômios
Eu tenho um sentimento de que há uma maneira mais esperta de chegar nessa resposta, precisamos pensar com calma pra encontrá-la.. Daí talvez fique mais claro.
Eu também não me preparei pra esses vestibulares, mas já vi algumas provas. O ita não tem questões muito complexas não, porém o tempo lá é muito curto. É preciso muito treino pra dar conta de fazer no tempo, tem que enxergar o truque dos problemas bem rápido. O ime tem questões mais difíceis que o ita no geral, e era pior antigamente (anos 70). Mas é mais facil de passar do que o ita, porque a concorrência é menor!!! Então a prova ser difícil não é o maior impedimento!!
Eu também não me preparei pra esses vestibulares, mas já vi algumas provas. O ita não tem questões muito complexas não, porém o tempo lá é muito curto. É preciso muito treino pra dar conta de fazer no tempo, tem que enxergar o truque dos problemas bem rápido. O ime tem questões mais difíceis que o ita no geral, e era pior antigamente (anos 70). Mas é mais facil de passar do que o ita, porque a concorrência é menor!!! Então a prova ser difícil não é o maior impedimento!!
DaoSeek- Jedi
- Mensagens : 316
Data de inscrição : 29/07/2022
Giovana Martins gosta desta mensagem
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