(Simulado IME) Polinômios

DaoSeek escreveu:

Primeiro observamos que P é um polinomio mônico. De fato, caso o coeficiente líder fosse A, teríamos 

P(x²) = Ax⁸ + ...

P(x)P(-x) = A² x⁸ + ...

Daí, A² = A, e como  A é distinto de zero segue que 1 é a única opção. 

Sejam então a,b,c,d as raízes de P. Podemos escrever:

P(x)  = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)

E isso implica que

P(-x) = (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)

P(x)P(-x) = (x²-a²)(x²-b²)(x²-c²)(x²-d²)

P(x²) = (x²-a)(x²-b)(x²-c)(x²-d)

Assim, a igualdade P(x²) = P(x)P(-x) ocorre se, somente se,  a,b,c,d é uma permutação de a²,b²,c²,d². 

Agora é só analisar todos os casos:

Caso 1:

a = a², b = b², c = c², d = d²

Nesse caso, a,b,c,d podem ser 0 ou 1. Com isso obtemos os polinomios:

x⁴ 

x³(x-1) 

x²(x-1)² 

x(x-1)³ 

(x-1)⁴

Caso 2:

a = b², b = a²

(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 2"). 

Isso implica que a = a⁴. Como não queremos 0 ou 1 como raiz, a deve ser uma raiz cubica primitiva da unidade, e b seu conjugado. Isso nos da os polinômios:

x² (x²+x+1)

x(x-1)(x²+x+1)

(x-1)²(x²+x+1)

(x²+x+1)²

Caso 3:

a = b², b = c², c = a² 

(ou seja, temos um "ciclo de tamanho 3")

Isso implica que a = b² = c⁴ = a⁸. Logo, a deve ser uma raiz 7ª da unidade. Sendo \( z = e^{2 \pi i / 7} \) isso nos deixam as possibilidades (dessa vez os polinomios tem coeficientes complexos):

x(x-z)(x-z²)(x-z⁴)

(x-1)(x-z)(x-z²)(x-z⁴)

x(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)

(x-1)(x-z³)(x-z⁶)(x-z⁵)

Caso 4:

a=b², b=c², c = d², d = a²

Temos a = b² = c⁴ = d⁸ = a¹⁶. Portanto, a é raiz 15ª da unidade. Sendo \( w = e^{2 \pi i / 15}\) isso nos deixam as possibilidades:

(x-w)(x-w²)(x-w⁴)(x-w⁸)

(x-w⁷)(x-w¹⁴)(x-w¹³)(x-w¹¹)

(x-w³)(x-w⁶)(x-w⁹)(x-w¹²)  ---> esse aqui possui coeficientes reais, é igual a 1+x+x²+x³+x⁴

Portanto existem 16 polinomios que atendem  a igualdade P(x) P(-x) = P(x²). Desses, 10 tem coeficientes reais:

x⁴ 

x³(x-1) 

x²(x-1)² 

x(x-1)³ 

(x-1)⁴

x² (x²+x+1)

x(x-1)(x²+x+1)

(x-1)²(x²+x+1)

(x²+x+1)²

1+x+x²+x³+x⁴

Obs.: Eu acho que há alguma maneira mais esperta de achar esses polinomios usando que são reais. A principio eu achei que coeficientes complexos seriam admitidos, e daí ficou dessa forma. Eu também escrevi de maneira mais concisa que deveria, então se tiver alguma passagem obscura pode falar!