Questão PG FGV 2020

Uma função f(x) é definida nos inteiros positivos por: 

[latex]\left\{\begin{matrix} f(1) =0 \\ f(x) =3f(x-1) +1, x>1 \end{matrix}\right.[/latex]



a) Calcule f(102)-f(101)
b) Resolva a equação [latex]f(1002)=\frac{3^7^7-1}{2}[/latex]  na incógnita n
*Há um erro de digitação na equação do item b: O expoente do 3 não deveria ser apenas "77", mas "77n".

 Infelizmente não tenho o gabarito da questão. Obrigado pela ajuda.

Uma possibilidade é descobrir a lei de formação:

f(x) = 3.f(x - 1) + 1 ---> f(1) = 0

Para x = 2 ---> f(2) = 3.f(1) + 1 ---> f(2) = 3.0 + 1 = _.1
...................................................................... .............. 3
Para x = 3 ---> f(3) = 3.f(2) + 1 ---> f(3) = 3.1 + 1 = _.4
....................................................................... ............. 9
Para x = 4 ---> f(4) = 3.f(3) + 1 ---> f(4) = 3.4 + 1  = .13
......................................................................... .......... 27
Para x = 5 ---> f(5) = 3.f(4) + 1 ---> f(5) = 3.13 + 1 = 40
....................................................................... .............81

Outra possibilidade é considerar que a equação dada é de uma reta com coeficiente angular 3 e coeficiente linear 1

Bom dia. Encontrando a lei de formação, como o Elcio sugeriu:
[latex] f(n)=3f(n-1)+1=1 + 3(3f(n-2) + 1) = (1 + 3) + 3^2(3f(n-3) + 1) [/latex]
[latex] = (1 + 3 + 3^2) + 3^3(3f(n-4) + 1) = ... =\underset{PG(q = 3, a_1=1)}{\underbrace{(3^0 + 3 + ... + 3^{n-2})}} + 3^{n - 1}\underset{0}{\underbrace{f(1)}}  [/latex]
[latex] = \frac{3^0(3^{n-1}-1)}{3 - 1}=\frac{3^{n - 1} - 1}{2}  [/latex]

[latex]  \\ \therefore f(x) =  \left\{\begin{matrix} 0, &  x = 1 \\ \frac{3^{x - 1} - 1}{2}, & x > 1 \end{matrix}\right. [/latex]
a)
[latex] f(102) - f(101) = \frac{3^{101} - 1}{2} - \frac{3^{100} - 1}{2} = \frac{3^{100}(3^1 - 1)}{2}=3^{100} [/latex]
b)
[latex] f(1002) = \frac{3^{77n} - 1}{2} \rightarrow \frac{3^{1001} - 1}{2} = \frac{3^{77n} - 1}{2}  [/latex]
[latex] \rightarrow 3^{1001} = 3^{77n}  \therefore n = \frac{1001}{77} = 13 [/latex]
Creio que seja isso.