Questão de números complexos UFU 2020-2

por Guilherme Zanetti Seg 21 Dez 2020, 17:57

(UFU 2020-2) Sejam Z₁ e Z₂ duas raízes cúbicas de um complexo W. Considerando-se as representações geométricas dessas raízes, sabe-se que Z₁está situada no primeiro quadrante e que Z₂ é da forma b.i, onde b é um número real negativo e i é a unidade imaginária. Portanto, o coeficiente angular da reta que passa por Z₁ e Z₂ é igual a

a) [latex]\sqrt{3}[/latex]

b) 1

c) [latex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]

d) [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

por **Elcioschin** Seg 21 Dez 2020, 21:58

Melhore a escrita das alternativas, por favor.

por Guilherme Zanetti Ter 22 Dez 2020, 12:35

Elcioschin escreveu:Melhore a escrita das alternativas, por favor.

Boa tarde

Conforme solicitado, a formatação LaTeX foi refeita.

por **Elcioschin** Ter 22 Dez 2020, 13:20

Um possível caminho:

Seja W = x + y.i e Z₁ = n + p.i

Z₂ = b.i ---> b < 0

∛w = Z₂ ---> ∛(x + y.i) = b.i ---> x + y.i = b³.i³ ---> x + y.i = - b³.i

x = 0 ---> y = - b³ ---> y > 0

∛w = Z₁ ---> ∛(x + y.i) = n + p.i ---> x + y.i = (n + p.i)³ --->

x + y.i = n³ + 3.n².(p.i) + 3.n.(p.i)² + (p.i)³ --->

x + y.i = (n³ - 3.n.p²) + (3.n².p - p³).i

Iguale termo a termo e calcule n, p em função de b
Tente completar

Outra possibilidade:

Z₂ = b.i ---> Z₂ = b.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]

∛w = Z₂ --> w = ( Z₂)³ --> w = b³.[cos(3.pi/2) + i.sen(3.pi/2]

w = b³.(0 - i) ---> w = - b³.i ---> mesmo resultado acima

por Guilherme Zanetti Ter 22 Dez 2020, 16:24

Boa tarde, Elcio

Não entendi a resolução.

por **Elcioschin** Ter 22 Dez 2020, 17:03

É pura Álgebra, com números complexos.
E, na outra possibilidade, usei a teoria sobre potenciação de números complexos.
Qual parte você não entendeu?

por Guilherme Zanetti Ter 22 Dez 2020, 18:31

Elcioschin escreveu:É pura Álgebra, com números complexos.
E, na outra possibilidade, usei a teoria sobre potenciação de números complexos.
Qual parte você não entendeu?

Boa noite, Elcio

A segunda possibilidade foi o mais próximo da resolução que tentei...

(Comecei pelo plano de Argand-Gauss)

Nela você aplicou a 1ª Lei de Moivre, certo?

Por que o ângulo encontrado foi de [latex]\frac{3\pi}{2}[/latex] ?

Vejo que encontrou o complexo W, mas não consegui descobrir o afixo correspondente ao Z1 para plotar no gráfico e calcular o coeficiente angular.

por **Elcioschin** Ter 22 Dez 2020, 18:48

Estude a teoria sobre potenciação de números complexos, em qualquer livro/apostila ou mesmo na internet.
Sem isto você não estará capacitado a entender.

z = a.(cosθ + i.senθ)

zⁿ = [a.(cosθ + i.senθ)]ⁿ

zⁿ = aⁿ.[cos(n.θ) + i.sen(n.θ)]

por Guilherme Zanetti Ter 22 Dez 2020, 19:15

Elcioschin escreveu:Estude a teoria sobre potenciação de números complexos, em qualquer livro/apostila ou mesmo na internet.
Sem isto você não estará capacitado a entender.

z = a.(cosθ + i.senθ)

zⁿ = [a.(cosθ + i.senθ)]ⁿ

zⁿ = aⁿ.[cos(n.θ) + i.sen(n.θ)]

Estou ciente quanto à teoria, apenas continuo sem entender sua resolução.

Poderia ser mais claro quanto ao Z1, por gentileza?

Não consegui encontrá-lo na segunda possibilidade.

por **Elcioschin** Ter 22 Dez 2020, 20:30

Você perguntou:

Por que o ângulo encontrado foi de $Questão de números complexos UFU 2020-2 Png$ ?

Na minha solução: Z₂ = b.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]

(Z₂)ⁿ = bⁿ.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]ⁿ

Nesta questão ---> n = 3

(Z₂)³ = b³.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]³

(Z₂)³ = b³.{cos(3.pi/2) + i.sen(3.pi/2)}

Eu simplesmente apliquei potenciação no complexo.
Sua pergunta só teria sentido se você não soubesse exponenciação.
Como você agora diz que conhece a teoria, porque fez, então, a pergunta?

O cálculo de Z₁eu não usei potenciação porque não foi informado o valor de Z₁
_{Eu fiz}Z₁= n + p.i e apliquei Álgebra básica de números complexos.
Sugiro rever minha solução para Z₁