Questão de números complexos UFU 2020-2

por Guilherme Zanetti Seg 21 Dez 2020, 17:57

Relembrando a primeira mensagem :

(UFU 2020-2) Sejam Z₁ e Z₂ duas raízes cúbicas de um complexo W. Considerando-se as representações geométricas dessas raízes, sabe-se que Z₁está situada no primeiro quadrante e que Z₂ é da forma b.i, onde b é um número real negativo e i é a unidade imaginária. Portanto, o coeficiente angular da reta que passa por Z₁ e Z₂ é igual a

a) [latex]\sqrt{3}[/latex]

b) 1

c) [latex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/latex]

d) [latex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

por Guilherme Zanetti Qua 23 Dez 2020, 12:07

Elcioschin escreveu:Você perguntou:

Por que o ângulo encontrado foi de $Questão de números complexos UFU 2020-2 - Página 2 Png$ ?

Na minha solução: Z₂ = b.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]

(Z₂)ⁿ = bⁿ.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]ⁿ

Nesta questão ---> n = 3

(Z₂)³ = b³.[cos(pi/2) + i.sen(pi/2)]³

(Z₂)³ = b³.{cos(3.pi/2) + i.sen(3.pi/2)}

Eu simplesmente apliquei potenciação no complexo.
Sua pergunta só teria sentido se você não soubesse exponenciação.
Como você agora diz que conhece a teoria, porque fez, então, a pergunta?

O cálculo de Z₁eu não usei potenciação porque não foi informado o valor de Z₁
_{Eu fiz}Z₁= n + p.i e apliquei Álgebra básica de números complexos.
Sugiro rever minha solução para Z₁

Bom dia

Quanto à pergunta do ângulo...
Fiquei confuso na sua resolução, mas acabei me tocando depois de já ter enviado a pergunta.
De qualquer forma, agradeço pelo lembrete sobre potenciação.

Entretanto, como havia dito, sua resolução para o Z1 não foi clara.
Continuo sem compreender como chegar ao coeficiente angular a partir daí.

Vide: x + y.i = (n³ - 3.n.p²) + (3.n².p - p³).i

por **Elcioschin** Qua 23 Dez 2020, 12:46

x + y.i = (n³ - 3.n.p²) + (3.n².p - p³).i

Igualando termos reais e termos imaginários:

n³ - 3.n.p² = x ---> I

3.n².p - p³ = y ---> II

Como já provei antes ---> x = 0 ---> y = - b³
Substitua em I e II e calcule n, p em função de b
Com isto você já tem o complexo Z₁

Tendo Z₁ e Z₂, você tem as extremidades dos afixos de Z₁ e Z₂

Determine a equação da reta que passa pelas extremidades dos afixos e calcule o coeficiente angular desta reta,

por Guilherme Zanetti Qui 04 Fev 2021, 17:04

@Elcioschin

Encontrei uma resolução em que as raízes formam um triângulo equilátero no plano de Argand-Gauss, daí por paralelismo o ângulo formado seria de 60º. Por esse método é bem mais fácil, mas eu não entendi por que elas formam um triângulo equilátero.

Poderia lançar uma luz?

por **Elcioschin** Qui 04 Fev 2021, 18:37

As raízes cúbicas de um número complexo sempre tem os afixos formando um triângulo equilátero. Isto faz parte da teoria. Sugiro dar uma lida. Vou mostrar abaixo a solução gráfica: