Unioeste 2020 questão 39 - progressão

por AmauriFelipe Qui 17 Jun 2021, 19:33

Para cada número complexo x considere a soma

[latex]S(x) = 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - x^{5} + ... + x^{2016} - x^{2017} + x^{2018} - x^{2019}[/latex]

Assim, é CORRETO afirmar que S(-1) + S(i) é igual a:
a) 2020.
b) 2019.
c) 2020 + i.
d) 2019 + i.
e) 2020 - i.

por **Elcioschin** Qui 17 Jun 2021, 20:08

S(x) = 1 - x + x² - x³ + x⁴ - ........ + x²⁰¹⁸ - x²⁰¹⁹

Os termos em verde constituem uma PG com a1 = - x, q = - x, n = 2019

Use a fórmula da soma dos termos da PG, em função de x, e some com 1

Depois faça x = - 1 e x = i e calcule o que se pede

por AmauriFelipe Qui 17 Jun 2021, 21:25

Primeiro eu considerei x como -1 e depois como raiz de -1, aí fazendo as potências e somas cíclicas e somando as duas funções eu cheguei a 2020

por **Elcioschin** Qui 17 Jun 2021, 21:48

Então mostre o passo-a-passo da sua solução.

por AmauriFelipe Sex 18 Jun 2021, 14:58

1 - (-1) + (-1)^2 - (-1)^3 + (-1)^4 - ...
1 + 1 + 1 +1 + 1 + ...
a soma se repete 2019 vezes totalizando 2019, somando com o elemento antes da progressão, o 1, totaliza 2020

1 - (raiz de -1) + (raiz de -1)^2 - (raiz de -1)^3 + (raiz de -1)^4 - ...

1 - (raiz de -1) + (-1) - ( - raiz de -1) + 1 - ...

essa sequência [(raiz de -1) + (-1) - ( - raiz de -1) + 1] totaliza 0, tem 4 termos e se repete. como são 2019 termos, essa sequência se repete 2019/4 = 54 vezes e ainda sobra 3 termos dela, q são os 3 primeiros termos.
Assim temos:
1 - (raiz de -1) + (-1) - -(raiz de -1) = 0

Assim S(-1) + S(raiz de -1) = 2020