Função quadrática

Seja f(x) = ax² + bx + c uma função do segundo grau, em que a, b e c são números reais. Sabe-se que:

- o gráfico dessa função passa pelos pontos (1,3) e (2,6); e
- essa função possui uma única raiz.
Considerando esses dados, calcule o valor de a, b e c.

Gabarito: a = 9 + 6√2; b = -24-18√2 e c = 18 +12√2 ou a = 9-6√2; b = -24+18√2 e c = 18-12√2

f(x) = a.x² + b.x + c 

(1, 3) ---> 3 = a.1² + b.1 + c ---> a + b + c = 3 ---> I

(2, 6) ---> 6 = a.2² + b.2 + c ---> 4.a + 2.b + c = 6 ---> II

Uma única raiz = raiz dupla ---> ∆ = 0 ---> b² - 4.a.c = 0 ---> III

Resolva o sistema de três equações e três incógnitas.

Elcioschin escreveu:f(x) = a.x² + b.x + c 

(1, 3) ---> 3 = a.1² + b.1 + c ---> a + b + c = 3 ---> I

(2, 6) ---> 6 = a.2² + b.2 + c ---> 4.a + 2.b + c = 6 ---> II

Uma única raiz = raiz dupla ---> ∆ = 0 ---> b² - 4.a.c = 0 ---> III

Resolva o sistema de três equações e três incógnitas.

Eu não consegui resolver o sistema meu sistema chegou em 36b³-124b²-48b+108 = 0

Sempre mostre o passo-a-passo da sua solução!

Elcioschin escreveu:Sempre mostre o passo-a-passo da sua solução!

i) 3 = a*1² + b*1 + c
3 = a + b + c (I)

ii) 6 = a*2² + b*2+c
6 = 2a +2b + c (II)

iii) b² -4ac= 0
-4ac = -b²
4ac = b²
c = b²/4a (III)

iv) subtraindo I de II Temos:

6 = 4a +2b +c
-
3 = a + b +c

3 = 3a + b
a =( 3-b)/3 (IV)

V) Substituindo IV em III Temos:

c = b²/(4*((3-b)/3))
c = b²/((12-4b)/3)
c = b² * 3/(12-4b)
c = 3b²/(12-4b) (V)

vi) Substituindo a e c em (I)

3 = (3-b)/3 + b + 3b²/(12-4b)
3*3*(12-4b) = (3-b)*(12-4b)+3*(12-4b)*b+3*(12-4b)*3b²
108-36b = 36-12b-12b+4b²+36b-12b²+108b²-36b³
36b³-124b²-48b+108=0

Elcioschin escreveu:Sempre mostre o passo-a-passo da sua solução!

Descobri meu erro:

em vi) o correto é:

3 = (3-b)/3 + b + 3b²/(12-4b)
3*3(12-4b) = (3-b)(12-4b) + 3b(12-4b) + 3*3b²
108 -36b = 36-12b-12b+4b²+36b -12b²+9b²
108-36b = b²+12b+36
-b² -48b +72 = 0

vii) delta = (-48)² -4* (-1)*(72)
delta = 2304+288
delta = 2592

viii) (48 +- √2592)/2*(-1)

b = 48 + 36√2/-2
b = -24 - 18√2

ou

b = 48 - 36√2/-2
b = -24 + 18√2

Substituindo b = -24 - 18√2 em (IV) temos

a = 3 -(-24 - 18√2)/3
a = 3 +24+18√2/3
a = 27+ 18√2/3
a = 9+ 6√2

Substituindo b = -24 - 18√2 em V) Temos

c = 3*(-24 - 18√2)²/12-4*(-24 - 18√2)
c = 3*(1224+864√2/12+96+72√2
c = 3*(1224+864√2/108+72√2
c = 3*(1224+864√2/3*(36+24√2)
c = 1224+864√2/(36+24√2)

brunoriboli escreveu:

Elcioschin escreveu:Sempre mostre o passo-a-passo da sua solução!

i) 3 = a*1² + b*1 + c
3 = a + b + c (I)

ii) 6 = a*2² + b*2+c
6 = 2a +2b + c (II)

iii) b² -4ac= 0
-4ac = -b²
4ac = b²
c = b²/4a (III)

iv) subtraindo I de II Temos:

6 = 4a +2b +c
-
3 = a + b +c

3 = 3a + b
a =( 3-b)/3 (IV)

V) Substituindo IV em III Temos:

c = b²/(4*((3-b)/3))
c = b²/((12-4b)/3)
c = b² * 3/(12-4b)
c = 3b²/(12-4b) (V)

Substituindo a e c em (I)

3 = (3-b)/3 + b + 3b²/(12-4b)
3*3*(12-4b) = (3-b)*(12-4b)+3*(12-4b)*b+3*(12-4b)*3b²
108-36b = 36-12b-12b+4b²+36b-12b²+108b²-36b³
36b³-124b²-48b+108=0

Faça (II) -(I) mas equações do Élcio:  3a+b = 3 --: b = 3-3a (IV)
SUbstituindo em (I): a+3-3a+c =3 --: c=2a (V)
Substituindo (IV) e (V) em (III): a²-19a+9=0
Resolvendo a = 9+/- 6√2