Desigualdade entre as médias
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Desigualdade entre as médias
por Luan, o Rocha Ter 21 maio 2024, 20:00
Elementos da Matemática, Vol. 0.
Capítulo 3, Médias.
46) Provar as desigualdades:
a) [latex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/latex], a, b e c reais positivos;
b) [latex](1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n})\geq 2^{n}[/latex], se [latex]a_{1}a_{2}...a_{n}=1[/latex] e [latex]a_{i}\geq 0[/latex].
Resolução:
a) [latex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Leftrightarrow 2abc+a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 8abc\Leftrightarrow a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 6abc\Leftrightarrow \frac{a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}{6}\geq \sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}\Leftrightarrow \frac{a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}{6}\geq \sqrt[6]{a^2b.a^2c.b^2a.b^2c.c^2a.c^2b}\therefore M.A.\geq M.G.[/latex]
Como faço para provar a desigualdade da letra b?
Capítulo 3, Médias.
46) Provar as desigualdades:
a) [latex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc[/latex], a, b e c reais positivos;
b) [latex](1+a_{1})(1+a_{2})...(1+a_{n})\geq 2^{n}[/latex], se [latex]a_{1}a_{2}...a_{n}=1[/latex] e [latex]a_{i}\geq 0[/latex].
Resolução:
a) [latex](a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Leftrightarrow 2abc+a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 8abc\Leftrightarrow a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\geq 6abc\Leftrightarrow \frac{a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}{6}\geq \sqrt[6]{a^6.b^6.c^6}\Leftrightarrow \frac{a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b}{6}\geq \sqrt[6]{a^2b.a^2c.b^2a.b^2c.c^2a.c^2b}\therefore M.A.\geq M.G.[/latex]
Como faço para provar a desigualdade da letra b?
Luan, o Rocha- Iniciante
- Mensagens : 32
Data de inscrição : 04/04/2024
Re: Desigualdade entre as médias
por Lipo_f Ter 21 maio 2024, 21:37
Para ai >= 0, vale MA >= MG => (1+ai)/2 >= √ai => 1 + ai >= 2√ai. Segue que:
1 + a1 >= 2√a1
1 + a2 >= 2√a2
...
1 + an >= 2√an
=> (1+a1)(1+a2)...(1+an) >= 2^n √(a1a2...an) = 2^n.
1 + a1 >= 2√a1
1 + a2 >= 2√a2
...
1 + an >= 2√an
=> (1+a1)(1+a2)...(1+an) >= 2^n √(a1a2...an) = 2^n.
Lipo_f- Jedi
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Data de inscrição : 16/05/2024
Idade : 19
Localização : Belém, Pará
Luan, o Rocha gosta desta mensagem
Re: Desigualdade entre as médias
por Luan, o Rocha Ter 21 maio 2024, 21:51
Obrigado!!!Lipo_f escreveu:Para ai >= 0, vale MA >= MG => (1+ai)/2 >= √ai => 1 + ai >= 2√ai. Segue que:
1 + a1 >= 2√a1
1 + a2 >= 2√a2
...
1 + an >= 2√an
=> (1+a1)(1+a2)...(1+an) >= 2^n √(a1a2...an) = 2^n.
Luan, o Rocha- Iniciante
- Mensagens : 32
Data de inscrição : 04/04/2024
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