Polinômios UF-MS

por Eduardo3943 Seg 18 Mar 2024, 20:09

(UF-MS) Sabe-se que o polinômio P(x), definido a seguir, tem duas raízes reais opostas e que [latex]P(1-i)=0[/latex]. [latex]P(x)=9x^4+ax^3+bx^2+cx-90[/latex]. Então qual é o valor da soma [latex](a+b+c)[/latex]?

Gabarito: 45

por **Giovana Martins** Seg 18 Mar 2024, 21:23

Se P(1 - i) = 0, logo, z = 1 - i é raiz de P(x). Pelo Teorema das Raízes Complexas Conjugadas, se z = 1 - i é raiz de P(x), logo, o seu conjugado também o é. Assim, P(1 + i) = 0.

O enunciado também afirma que P(x) admite raízes opostas. Assim, P(±β) = 0.

Agora, vamos às contas.

Por Girard:

1 - i + 1 + i + β - β = - a/9 → a = - 18

(1 + i)(1 - i)(β)(- β) = - 10 → β = ± √5

Logo: P(±√5) = 0, tal que:

9 x (√5)⁴ - 18 x (√5)³ + b x (√5)² + c x (√5) - 90 = 0 (i)

9 x (-√5)⁴ - 18 x (-√5)³ + b x (-√5)² + c x (-√5) - 90 = 0 (ii)

Resolver este sistema parece complicado, mas não é. Basta somar (i) e (ii) que os termos se cancelam dois a dois.

De (i) e (ii): b = - 27 e c = 90

Logo, a + b + c = - 18 - 27 + 90 = 45.