Problema de contagem

Uma professora distribuirá 5 atividades distintas para 3 alunos, sendo que as atividades podem ser distribuídas para todos eles ou somente para alguns (distribuindo, até mesmo, todas a somente um deles). O número de maneiras distintas de distribuir essas atividades é:

não achei resposta.

Listando todas, para os alunos A, B, C, fazendo A = 0

A - B - C
0 - 0 - 5
0 - 1 - 4
0 - 2 - 3
0 - 3 - 2
0 - 4 - 1
0 - 5 - 0 ---> Com A = 0 existem 6 possibilidades

Complete, fazendo A = 1, A = 2,  A = 3, A = 4, A = 5

Deve dar 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

Um caso de combinação com repetição, ou permutação bola-traço.

Imaginemos os 3 alunos e 5 provas iguais. Separarei os alunos entre barras e identificarei cada prova com um ponto:

             A1        A2           A3         
              .      /    ..     /      ..         

Repare que essa distribuição que fiz é apenas uma das várias possíveis. Se você chamar prova de B (bolinha) e os traços de T, você tem a seguinte sequência: BTBBTBB. Mas eu poderia fazer essa distribuição de várias maneiras, como dar as 5 provas para A1 (BBBBBTT). Perceba que essas combinações representam o total de permutações dessa "palavra" criada. Logo, fazendo a permutação com repetição, encontro as possibilidades:

\(P_7 ^{5,2} = \boxed{21}\)

ZEROBERTO26 escreveu:Um caso de combinação com repetição, ou permutação bola-traço.

Imaginemos os 3 alunos e 5 provas iguais. Separarei os alunos entre barras e identificarei cada prova com um ponto:

             A1        A2           A3         
              .      /    ..     /      ..         

Repare que essa distribuição que fiz é apenas uma das várias possíveis. Se você chamar prova de B (bolinha) e os traços de T, você tem a seguinte sequência: BTBBTBB. Mas eu poderia fazer essa distribuição de várias maneiras, como dar as 5 provas para A1 (BBBBBTT). Perceba que essas combinações representam o total de permutações dessa "palavra" criada. Logo, fazendo a permutação com repetição, encontro as possibilidades:

\(P_7 ^{5,2} = \boxed{21}\)

Obrigado pela resposta. Uma dúvida. No caso das bolas serem distintas, como fica a combinação?

andre.pina escreveu:Obrigado pela resposta. Uma dúvida. No caso das bolas serem distintas, como fica a combinação?

Depende daquilo que o problema te propor. A técnica da permutação bola-traço funciona perfeitamente quando queremos "colocar coisas iguais em recipientes distintos". Nesse caso, não fez diferença considerar cada prova de um jeito diferente, a preocupação do exercício era simplesmente distribuir uma quantia de folhas/provas/atividades para 3 alunos. Aliás, diante do problema, esses alunos eram simplesmente "alunos", não foram nem caracterizados como seres distintos.

Distribuir 5 provas diferentes para 3 alunos iguais ou distribuir 5 provas iguais para 3 alunos diferentes daria no mesmo. Fiz com alunos diferentes porque é estranho pensar em 5 pessoas exatamente iguais.

Se o exercício deixasse essa diferença de provas e alunos ainda mais gritante, o problema seria bem complicado. Tipo, caso ele dividisse os testes em 1, 2, 3, 4 e 5 e os alunos em A, B e C; o problema iria ficar muito pior. Teríamos que analisar diferentes distribuições para diferentes alunos.

Ex: o aluno A e B farão as provas. Mas quem ficará com qual? A com 1, 2 e 5 e B com 4 e 3? A com 1, 2, 3 e 4 e B com 5? A com 1 e 5 e B com 2, 3, 4?
E se mais alunos fizessem as provas? Imagine a confusão de casos! Seriam permutações, arranjos, muitos casos...
Percebe como o problema ia ficar bem complexo?