AREF - Geometria Plana

por Zeroberto Seg 08 maio 2023, 10:24

O \( \Delta \) ABC é retângulo em A, M é o ponto médio da hipotenusa. Tem se DA ⊥ \(\alpha \) e DH ⊥ BC. Se DA = 2, DM = 6 e DH = \(2 \sqrt3 \), calcule:

a) A hipotenusa do \(\Delta\) ABC;
b) A altura do \(\Delta \) ABC, relativa à hipotenusa;
c) A área do \(\Delta\) ABC.

Gabarito: a) 8\(\sqrt2\)
b) 2\(\sqrt2\)
c) 16

Estou com uma dificuldade muito grande em enxergar que " DH ⊥ BC". DH não está oblíquo a BC pela figura? Como aquele ângulo reto em BC existe? Se possível, adoraria visualizar um desenho para enxergar melhor isso.

por **Giovana Martins** Seg 08 maio 2023, 16:35

O meu exemplo é ruim, mas acho que você vai entender.

Imagine uma cruz. No ponto de encontro entre os segmentos vertical e horizontal os segmentos são perpendiculares, certo? Se você inclinar a cruz, girar, ... etc, os segmentos vão continuar perpendiculares, não vão?

Uma imagem. Observando o plano que contém os pontos D, H e M, você verá o triângulo retângulo abaixo. Esse mesmo plano intersecta perpendicularmente o segmento BC.

Não consigo desenvolver os cálculos agora. Só no fim de semana. Se alguém quiser mexer, manda ver Smile

.

AREF - Geometria Plana WE0vFFq3Dz1JAAAAABJRU5ErkJggg==

por **Giovana Martins** Seg 08 maio 2023, 16:37

Sem querer eu inverti os ponto D e H. Peço apenas que ajuste isso no desenho, por gentileza.

por Zeroberto Seg 08 maio 2023, 18:37

Giovana, agradeço imensamente a ajuda quanto à visualização desse ângulo reto. Vi sua mensagem e finalmente consegui enxergar o que era ele. Era um ângulo formado entre os planos, certo? E, como você explicou com a bela analogia da cruz, os segmentos ainda continuam perpendiculares, e desse modo eu entendi que seus valores também não mudam, logo consegui fechar os triângulos retângulos que faltavam na questão e consegui finalizá-la.

Mais uma vez, muitíssimo obrigado pela ajuda! Esse raciocínio vai me ajudar nas próximas questões que eu errei com a mesma pegada.

Aliás, compartilharei minha resolução com os colegas.

por Zeroberto Seg 08 maio 2023, 18:56

a) Aplicando pitágoras no triângulo ADM):

\(AM^2 + AD^2 = DM^2 \implies 36 = AM^2 + 4 \therefore AM = 4\sqrt2\)

Como ABC é um triângulo retângulo e M é ponto médio, AM é sua mediana. Sabe-se que, num triângulo retângulo, a mediana corresponde à metade do valor da hipotenusa \(\therefore \boxed {BC= 8\sqrt2}\)

b) Sendo AH a altura do triângulo retângulo relativa à hipotenusa, tem-se que:

\(AH^2 + MH^2 = AM^2\)

Do triângulo DHM:

\(MH^2 + DH^2 = MD^2 \implies 36 = MH^2 + 12 \therefore MH = 2\sqrt6 \)

Portanto, \( (4\sqrt2)^2 = (2\sqrt6)^2 + AH^2 \implies AH^2 = 8 \therefore \boxed{AH = 2\sqrt2}\)

c) Seja S a área to triângulo ABC:

\(S = \frac{BC . AH}{2} \implies S = \frac{8\sqrt2.2\sqrt2}{2} \therefore \boxed{S=16}\)