Aref área de figura plana

As retas  5x-y+9=0 e x -8y+33=0 cortam-se no vértice B de um triângulo ABC de área 39/2. Determine a equação da reta suporte de AC, sabendo que ela é perpendicular à reta de equação 3x+2y-2=0.  
Gabarito: 2x-3y+1=0 ou 2x-3y+27=0

Da forma como a questão está escrita, qualquer reta perpendicular a 3x+2y - 2= 0 que não passa pelo ponto B é solução do problema.

O que faltou dizer no enunciado para obtermos esse gabarito é que as retas 5x-y+9=0  e x -8y+33=0 são as retas suportes dos lados AB e BC do triangulo. Vou resolver nessa situação:

A área do triângulo cujas retas suportes são
\( a_1 x + b_1y + c_1 = 0\)
\( a_2 x + b_2y + c_2 = 0\)
\( a_3 x + b_3y + c_3 = 0\)

é dada pelo módulo de  \( \displaystyle  \dfrac{   \det \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_1 & c_3
\end{pmatrix}^2}{2 C_1C_2C_3} \) , onde \(C_1, C_2, C_3\) são os cofatores de \(c_1, c_2, c_3\). Isto é:

\( \displaystyle C_1 = \det \begin{pmatrix}
a_2 & b_2 \\
a_3 & c_3
\end{pmatrix}, \qquad  C_2 =\det \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_3 & c_3
\end{pmatrix}, \qquad C_3 = \det \begin{pmatrix}
a_1 & b_1 \\
a_2 & c_2
\end{pmatrix} \)

Agora vamos resolver a questão. Qualquer reta perpendicular a 3x+2y - 2= 0 tem equação da foram 2x-3y + d = 0. Queremos encontra os possíveis valores de d de forma que a área do triangulo delimitado pelas retas

\( 5x-y+9=0\)
\(x -8y+33=0\)
\( 2x-3y + d = 0\)
seja 39/2. Pela fórmula, temos \( C_1 = 13, C_2 = -13, C_3 = -39\) e \( \displaystyle \det \begin{pmatrix}
5 & -1 & 9 \\
1 & -8 & 33 \\
2 & -3 & d
\end{pmatrix} = 39(14-d)\)

Logo:
\( \dfrac{39^2(14-d)^2}{2\cdot 39 \cdot 13^2} = \dfrac {39}{2} \implies (14-d)^2 = 13^2 \implies d = 1 \text{ ou } d = 27\)

Portanto, as retas procuradas são 2x-3y + 1 = 0 e 2x-3y + 27 = 0



Obs.: Se você não conhece essa fórmula e quer dar uma olhada numa demonstração, pode encontrar várias aqui(em inglês):
https://math.stackexchange.com/questions/901819/direct-formula-for-area-of-a-triangle-formed-by-three-lines-given-their-equatio
Usei notação semelhante a desse link pra facilitar pra quem queira dar uma olhada lá.