questão de análise combinatória
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questão de análise combinatória
por rebecaszz Dom 02 Abr 2023, 11:00
Considere um cubo 
formado por 
cubinhos unitários. Nesse problema, iremos verificar como podemos pintar todas as faces dos cubinhos unitários pintando algumas vezes as faces do cubo maior que podemos montar com todos eles.
Em cada vez, é claro, mudaremos os cubinhos de posição para garantir que pintaremos faces que não tinham sido pintadas anteriormente.
a) Ao pintarmos as faces do cubo, ao todo quantas faces dos cubinhos unitários são pintadas?
b) Utilizando a resposta do item anterior, prove que devemos pintar as faces do cubo maior pelo menos n vezes para pintar todas as faces dos cubinhos unitários.
c) Nesse item iremos mostrar como pintar todas as faces de 27 cubinhos unitários pintando 3 vezes um cubo
.
Para descrever o processo, iremos numerar os cubinhos de 1 a 27 e denominar as suas faces A,B,C,D,E,F como nos desenhos abaixo:
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Assim, quando escrevermos 8E, estaremos nos referindo à face E do cubo 8.
Podemos observar que os cubinhos que são colocados nos vértices do cubo maior têm 3 de suas faces pintadas; os cubinhos que são colocados nas arestas do cubo maior, mas não nos vértices, têm 2 faces pintadas; os cubinhos que são colocados nas faces, mas não nas arestas, têm 1 face pintada.
Com as considerações feitas anteriormente, iremos representar as faces pintadas em cada vez através de tabelas. A tabela correspondente à Pintura 1 já está preenchida para você (de nada!).
Faça uma tabela similar - indicando vértices, arestas e faces - em seu Bloco de Resoluções. Essa tabela corresponderá à Pintura 2. Você deve preenchê-la de modo que, após a terceira pintura do cubo maior (você não precisa indicá-la!), todas as faces dos cubinhos unitários estejam pintadas. Observe que na Pintura 1 nenhuma face do cubo 14 foi pintada, pois ele está no centro do cubo maior.
Agora vamos ver como fazer o mesmo para cubos maiores, em especial, para o cubo
. Não se desespere! Não iremos pedir para preencher tabelas como a do item anterior. Faremos algumas perguntas que consideramos que, se você conseguir responder, você sabe completar a tarefa para qualquer cubo não importando o tamanho.
d) Em 6 pinturas das faces do cubo qual é o número máximo de cubinhos unitários que podem ser pintados inteiramente, ou seja, ter todas as faces pintadas? Não esqueça de justificar a sua resposta.
e) Para ser possível concluir a pintura das faces dos cubinhos unitários em 7 pinturas após a Pintura 6 o número de cubinhos unitários pintados inteiramente deve “caber” no interior do cubo maior (você vai observar que não é uma boa ideia o que fizemos no item d). No nosso caso, exatamente quantos cubinhos unitários devem estar “prontos” após a Pintura 6?
f) Considerando que completaremos a nossa tarefa em 7 pinturas, qual é o número mínimo de pinturas para deixarmos prontos os cubinhos unitários que na última delas estarão no interior do cubo?
Questão antiga, não respondida, foi dado up várias vezes para ocupar o 1º lugar da fila.
Isto viola a Regra V- Não é permitido postar mensagens em duplicidade. As repetições são desagradáveis e inúteis! A prática de "upar" ou "dar up" em questões é permitida uma única vez após 24 horas da postagem.
Em cada vez, é claro, mudaremos os cubinhos de posição para garantir que pintaremos faces que não tinham sido pintadas anteriormente.
a) Ao pintarmos as faces do cubo
b) Utilizando a resposta do item anterior, prove que devemos pintar as faces do cubo maior pelo menos n vezes para pintar todas as faces dos cubinhos unitários.
c) Nesse item iremos mostrar como pintar todas as faces de 27 cubinhos unitários pintando 3 vezes um cubo
Para descrever o processo, iremos numerar os cubinhos de 1 a 27 e denominar as suas faces A,B,C,D,E,F como nos desenhos abaixo:
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Assim, quando escrevermos 8E, estaremos nos referindo à face E do cubo 8.
Podemos observar que os cubinhos que são colocados nos vértices do cubo maior têm 3 de suas faces pintadas; os cubinhos que são colocados nas arestas do cubo maior, mas não nos vértices, têm 2 faces pintadas; os cubinhos que são colocados nas faces, mas não nas arestas, têm 1 face pintada.
Com as considerações feitas anteriormente, iremos representar as faces pintadas em cada vez através de tabelas. A tabela correspondente à Pintura 1 já está preenchida para você (de nada!).
Faça uma tabela similar - indicando vértices, arestas e faces - em seu Bloco de Resoluções. Essa tabela corresponderá à Pintura 2. Você deve preenchê-la de modo que, após a terceira pintura do cubo maior (você não precisa indicá-la!), todas as faces dos cubinhos unitários estejam pintadas. Observe que na Pintura 1 nenhuma face do cubo 14 foi pintada, pois ele está no centro do cubo maior.
Agora vamos ver como fazer o mesmo para cubos maiores, em especial, para o cubo
d) Em 6 pinturas das faces do cubo
e) Para ser possível concluir a pintura das faces dos cubinhos unitários em 7 pinturas após a Pintura 6 o número de cubinhos unitários pintados inteiramente deve “caber” no interior do cubo maior (você vai observar que não é uma boa ideia o que fizemos no item d). No nosso caso, exatamente quantos cubinhos unitários devem estar “prontos” após a Pintura 6?
f) Considerando que completaremos a nossa tarefa em 7 pinturas, qual é o número mínimo de pinturas para deixarmos prontos os cubinhos unitários que na última delas estarão no interior do cubo?
Questão antiga, não respondida, foi dado up várias vezes para ocupar o 1º lugar da fila.
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