Análise Combinatória

1. Escolher uma posição para a primeira menina: são 5 opções.
2. Colocar a primeira menina na posição escolhida: 1 opção.
3. Escolher uma posição para a segunda menina: são 4 opções, já que ela não pode ficar nem na posição imediatamente à esquerda nem à direita da primeira menina.
4. Colocar a segunda menina na posição escolhida: 1 opção.
5. Escolher uma posição para a terceira menina: são 3 opções, já que ela não pode ficar nas duas posições adjacentes às outras duas meninas.
6. Colocar a terceira menina na posição escolhida: 1 opção.
7. Colocar os 5 meninos nas posições restantes: 5!/5 = 24, já que a roda é circular e as posições são indistinguíveis.
8. Multiplicar as opções de cada passo utilizando o princípio fundamental da contagem: 5 x 1 x 4 x 1 x 3 x 1 x 24 = 108.


Portanto, existem 108 maneiras de formar uma roda de ciranda com 3 meninas e 5 meninos sem que exista duas meninas em posições adjacentes.

Primeira solução:

Um exemplo de permutação é: [latex]{H_1, M_1, H_2, H_5, M_2, H_4, H_3, M _3}[/latex]

Fixe o homem [latex]H_1[/latex] em uma cadeira (não iremos mexer nele, trata-se de uma técnica para resolução de permutações circulares).

Para as 7 cadeiras restantes iremos colocar 4 homens, de forma que não existam duas meninas adjacentes. Para a escolha das cadeiras das mulheres temos 5 escolhe 3 maneiras = 10 maneiras (Imagine 4 homens sentados: X X X X, as mulheres podem sentar nas posições Y: Y X Y X Y X Y X Y, logo temos 5 escolhe 3 maneiras de escolher os lugares), escolhida as cadeiras, basta permutar as mulheres e os homens, de 4!(3!) maneiras

Portanto, temos 10(4!)(3!) = 1440 maneiras.


2° solução:

Imagine 5 homens sentados: X X X X X, as mulheres podem sentar nas posições Y: Y X Y X Y X Y X Y X Y, temos 6 escolhe 3 = 20 maneiras de escolher os lugares, mas existem 4 casos contados nos quais a primeira e a última cadeira são ocupadas, e como trata-se de uma roda, estas são duas posições adjacentes, portanto, temos 20 - 4 = 16 maneiras de escolher as cadeiras para as meninas.

Agora basta permutar (circularmente) as pessoas de 5!3!/8 formas Logo, temos 5!3!(16)/8 = 1440 maneiras.