Análise Combinatória
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Análise Combinatória
por William Minerva Sex 31 Mar 2023, 14:35
Quantos são os anagramas de ARARAQUARA que não possuem duas letras A consecutivas?
Eu tentei resolver mas não tenho certeza se fiz certo, alguém poderia corrigir?
_R_R_Q_U_R_
Pelo 1º Lema de Kaplansky, temos 5 letras A's e 6 interstícios. Então [latex]f(10,5)=C_{10-5+1}^5=C_{6}^5=6[/latex]
Podemos também permutar as letras R,R,Q,U,R de [latex]PR(5; 3)=20[/latex] formas.
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos no total [latex]6\cdot 20=120[/latex] anagramas que não possuem duas letras A consecutivas.
Eu tentei resolver mas não tenho certeza se fiz certo, alguém poderia corrigir?
_R_R_Q_U_R_
Pelo 1º Lema de Kaplansky, temos 5 letras A's e 6 interstícios. Então [latex]f(10,5)=C_{10-5+1}^5=C_{6}^5=6[/latex]
Podemos também permutar as letras R,R,Q,U,R de [latex]PR(5; 3)=20[/latex] formas.
Logo, pelo Princípio Multiplicativo, temos no total [latex]6\cdot 20=120[/latex] anagramas que não possuem duas letras A consecutivas.
William Minerva- Recebeu o sabre de luz
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Re: Análise Combinatória
por Elcioschin Sex 31 Mar 2023, 17:54
Apenas detalhando os casos para os A e depois para R, R, R, Q, U
A_A_A_A_A_ ---> 5!/3! = 20
A_A_A_A__A ---> 5!/3! = 20
A_A_A__A_A ---> 5!/3! = 20
A_A__A_A_A ---> 5!/3! = 20
A__A_A_A_A ---> 5!/3! = 20
_A_A_A_A_A ---> 5!/3! = 20
Total = .........................120
A_A_A_A_A_ ---> 5!/3! = 20
A_A_A_A__A ---> 5!/3! = 20
A_A_A__A_A ---> 5!/3! = 20
A_A__A_A_A ---> 5!/3! = 20
A__A_A_A_A ---> 5!/3! = 20
_A_A_A_A_A ---> 5!/3! = 20
Total = .........................120
Elcioschin- Grande Mestre
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Re: Análise Combinatória
por Mateus Meireles Dom 09 Abr 2023, 23:22
Olá pessoal,
Uma outra forma de abordar esse tipo de problema é organizando primeiro as letras que não possuem restritação, ou seja, devemos descobrir de quantos modos podemos permutar: 3 R's, 1 Q e 1 U. Como é uma permutação simples com elementos repetidos, isso pode ser feito de [latex]P^3_5 = 20[/latex] modos. Por exemplo, uma permutação possível é a seguinte:
Agora, devemos colocar 5 A's nos espaços destacados acima (represetandos por _ ), pois, assim, iremos garantir que não há duas letras A's consecutivas. Para isso, basta escolhermos 5 dentre 6 espaços possíveis, e isso pode ser feito de [latex]C^5_6 = 6[/latex] modos.
E como todos os A's são iguais entre si, não há necessidade de se preocupar com a permutação deles, eles serão organizados nos espaços escolhidos, por exemplo:
Note que o espaço marcado por _ corresponde ao que não foi escolhido.
Assim, a resposta é 20 · 6 = 120.
A demonstração de Kaplansky, inclusive, usa essa ideia de organizar primeiros os elementos que não possuem restrição.
Abraços.
Uma outra forma de abordar esse tipo de problema é organizando primeiro as letras que não possuem restritação, ou seja, devemos descobrir de quantos modos podemos permutar: 3 R's, 1 Q e 1 U. Como é uma permutação simples com elementos repetidos, isso pode ser feito de [latex]P^3_5 = 20[/latex] modos. Por exemplo, uma permutação possível é a seguinte:
_ R _ R _ R _ Q _ U _
Agora, devemos colocar 5 A's nos espaços destacados acima (represetandos por _ ), pois, assim, iremos garantir que não há duas letras A's consecutivas. Para isso, basta escolhermos 5 dentre 6 espaços possíveis, e isso pode ser feito de [latex]C^5_6 = 6[/latex] modos.
E como todos os A's são iguais entre si, não há necessidade de se preocupar com a permutação deles, eles serão organizados nos espaços escolhidos, por exemplo:
A R A R _ R A Q A U A = ARARRAQAUA
Note que o espaço marcado por _ corresponde ao que não foi escolhido.
Assim, a resposta é 20 · 6 = 120.
A demonstração de Kaplansky, inclusive, usa essa ideia de organizar primeiros os elementos que não possuem restrição.
Abraços.
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Mateus Meireles- Matador
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