Inequações
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Inequações
por Arlindocampos07 Qui 28 Abr - 18:32
Para quais valores a desigualdade: [latex]x^{3}+\frac{1}{x^{3}}> x^2+\frac{1}{x^2}[/latex] é falsa?
Estou sem o gabarito, encontrei como solução:[latex]S:\begin{Bmatrix} x\leq 1\: ou\: 0\leq x\leq 1 \end{Bmatrix}[/latex]
Concordam com a minha resposta?
EDIT: Já descobri um erro na minha resposta: Esqueci de trocar o sinal de um dos termos ao passar de um lado da equação para o outro.
EDIT 2: Acredito que a resposta correta seja [latex]S:\begin{Bmatrix} x\leq 0\; ou\; x=1 \end{Bmatrix}[/latex]
Estou sem o gabarito, encontrei como solução:[latex]S:\begin{Bmatrix} x\leq 1\: ou\: 0\leq x\leq 1 \end{Bmatrix}[/latex]
Concordam com a minha resposta?
EDIT: Já descobri um erro na minha resposta: Esqueci de trocar o sinal de um dos termos ao passar de um lado da equação para o outro.
EDIT 2: Acredito que a resposta correta seja [latex]S:\begin{Bmatrix} x\leq 0\; ou\; x=1 \end{Bmatrix}[/latex]
Última edição por Arlindocampos07 em Qui 28 Abr - 19:58, editado 4 vez(es) (Motivo da edição : Encontrei um erro na minha resolução)
Arlindocampos07- Mestre Jedi
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Re: Inequações
por qedpetrich Qui 28 Abr - 19:49
Olá Arlindo;
Não concordo com sua solução. Fiz dessa forma:
Utilizando o quadro/varal:
(x-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x⁵-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x³) - - - - - - - [0] + + + + + + + + + + + + +
Resultado: - - - - - - - [0] + + + + + + [1] + + + + +
Logo, a solução trata-se de x > 0. Mas note que, devemos tornar a desigualdade falsa, assim, a solução para o enunciado trata-se de x < 0.
Se a sua solução estivesse correta, então para x = 1/2:
Penso ser isso.
Não concordo com sua solução. Fiz dessa forma:
Utilizando o quadro/varal:
(x-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x⁵-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x³) - - - - - - - [0] + + + + + + + + + + + + +
Resultado: - - - - - - - [0] + + + + + + [1] + + + + +
Logo, a solução trata-se de x > 0. Mas note que, devemos tornar a desigualdade falsa, assim, a solução para o enunciado trata-se de x < 0.
Se a sua solução estivesse correta, então para x = 1/2:
Penso ser isso.
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Re: Inequações
por qedpetrich Qui 28 Abr - 19:50
Eita, acabou que você editou. Mas você ainda não está correto, pela condição de existência x ≠ 0, tome muito cuidado com os denominadores.
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Re: Inequações
por Arlindocampos07 Qui 28 Abr - 19:53
Exatamente, @qedpetrich! Vim perceber há poucos instantes que, por um erro de sinal, tinha chegado à [latex]\frac{(x^5+1)(x-1)}{x^3}[/latex] ao invés de [latex]\frac{(x^5-1)(x-1)}{x^3}[/latex]qedpetrich escreveu:Olá Arlindo;
Não concordo com sua solução. Fiz dessa forma:
Utilizando o quadro/varal:
(x-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x⁵-1) - - - - - - - - - - - - - - - - - - [1] + + + + +
(x³) - - - - - - - [0] + + + + + + + + + + + + +
Resultado: - - - - - - - [0] + + + + + + [1] + + + + +
Logo, a solução trata-se de x > 0. Mas note que, devemos tornar a desigualdade falsa, assim, a solução para o enunciado trata-se de x < 0.
Se a sua solução estivesse correta, então para x = 1/2:
Penso ser isso.
Obrigado pela ajuda!
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Re: Inequações
por Arlindocampos07 Qui 28 Abr - 19:56
Nossa, verdade! Erro besta novamenteqedpetrich escreveu:Eita, acabou que você editou. Mas você ainda não está correto, pela condição de existência x ≠ 0, tome muito cuidado com os denominadores.
Muito obrigado por alertar!
Arlindocampos07- Mestre Jedi
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Re: Inequações
por qedpetrich Qui 28 Abr - 20:00
Está tranquilo, eu também esqueci de testar para a raiz quando x = 1, que é solução, pois 0 > 0 também é falso. Bons estudos. 
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Re: Inequações
por Elcioschin Qui 28 Abr - 22:04
Outro modo, fazendo x + 1/x = k, para evitar termos de 6º grau
(x + 1/x)² = k² ---> x² + 1/x² = k² - 2
(x + 1/x)³ = k³ ---> x³ + 1/x³ + 3.(x + 1/x) = k³ ---> x³ + 1/x³ = k³ - 3.k
k³ - 3.k > k² - 2 ---> k³ - k² - 3.k + 2 > 0 ---> k = 2 é raiz racional as demais são k = (- √5 - 1)/2 e k = (- √5 + 1)/2
Desenhando o gráfico da função do 3º grau, vemos que ela é positiva nos intervalos (- √5 - 1)/2 < k (- √5 + 1)/2 e k > 2
Basta agora calcular os valores dos intervalos de x:
Por exemplo, para a raiz k = 2 ---> (x + 1/x) = 2 ---> x² - 2.x + 1 = 0 ---> (x - 1)² = 0 ---> x = 1
(x + 1/x)² = k² ---> x² + 1/x² = k² - 2
(x + 1/x)³ = k³ ---> x³ + 1/x³ + 3.(x + 1/x) = k³ ---> x³ + 1/x³ = k³ - 3.k
k³ - 3.k > k² - 2 ---> k³ - k² - 3.k + 2 > 0 ---> k = 2 é raiz racional as demais são k = (- √5 - 1)/2 e k = (- √5 + 1)/2
Desenhando o gráfico da função do 3º grau, vemos que ela é positiva nos intervalos (- √5 - 1)/2 < k (- √5 + 1)/2 e k > 2
Basta agora calcular os valores dos intervalos de x:
Por exemplo, para a raiz k = 2 ---> (x + 1/x) = 2 ---> x² - 2.x + 1 = 0 ---> (x - 1)² = 0 ---> x = 1
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