Função Composta

Sejam as funções reais g(x)=2x-1 e fog(x)=2x²-4x+3, determine a lei da função f. 

Gabarito: f(x)=x²/2-x+3/2

Boa noite, pessoal!! poderiam me ajudar nessa?

Tentei resolver da mesma maneira que resolvo com uma função do 1º grau, mas o resultado não confere. Poderiam me explicar onde errei? faz sentido resolver dessa maneira, ou esse método só pode ser aplicado em funções do 1º grau? 

g(x)=2x-1
f(x)=ax²+bx+c
f(g(x))=2x²-4x+3

f(g(x))=a((2x-1)²)+b(2x-1)+c
f(g(x))=a(4x²-4x+1)+b(2x-1)+c
f(g(x))=a(4x²-4x+1)+b(2x-1)+c
f(g(x))=4ax²-4ax+1+2bx-b+c
[latex]\therefore [/latex] 4ax²-4ax+1+2bx-b+c=2x²-4x+3 --> 4ax²-4ax+2bx+1-b+c=2x²-4x+3
[latex]\therefore [/latex] 4ax²=2x² --> a=1/2
[latex]\therefore [/latex] -4ax+2bx=4ax --> b=3
[latex]\therefore [/latex] 1-b+c=3 --> c=7