Função composta de uma função mista

por Hillyn Sex 21 Jun 2013, 16:05

Seja
2x + 3, x ≥ 1
f(x) =
-4x + 1, x < 1

determine (fof) (x).

Não tenho o gabarito.

por **Leonardo Sueiro** Sáb 22 Jun 2013, 21:09

para x >= 1 ----> fof = 2(2 x + 3) + 3

para x < 1 ---> fof = -4(-4 x + 1) + 1

por Hillyn Sáb 22 Jun 2013, 23:21

Obrigada pela resposta Leonardo, mas tem algumas coisas que estou em dúvida.

Ao substituir a função f(x) = (2x + 3) no valor de x, a condição x ≥ 1 não muda para (2x + 3) ≥ 1?

Se fizermos assim para os dois casos teremos:

2(2x + 3) + 3, x ≥ -1
fof(x) =
-4(-4x + 1) + 1, x > 0

Além disso, por que não substituir a função f(x) = 2x + 3 na função f(x) = -4x + 1 e vice versa? Rolling Eyes

por **Leonardo Sueiro** Sáb 22 Jun 2013, 23:55

A variável x não muda.

por Hillyn Dom 23 Jun 2013, 13:06

O que eu estava questionando era que da definição de função composta

Dom(g o f) = {x ∈ Dom(f)/f(x) ∈ Dom(g)}

O que quer dizer que o seu novo valor de x é o resultado da função f(x)(imagem de f(x)). Por isso ao substituir a função f(x) no valor de x, o seu x passa a ser o f(x).

Talvez com a minha resolução fique mais claro o que quero dizer:

Primeiro montei o gráfico da f(x):

Função composta de uma função mista Qr36

Depois substituí a função f(x) no x:

2 (2x + 3) + 3, (2x + 3) ≥ 1
  x ≥ 1

Olhando pelo gráfico a imagem da função (2x + 3) é maior ou igual a 1 para x maior ou igual a 1. E assim eu fiz para os outros.

2 (-4x + 1) + 3, (-4x + 1) ≥ 1
x ≤ 0

-4 (2x + 3) + 1, (2x + 3) < 1 => Não ocorre, pois não existe em f(x) imagem menor que 1 para a função (2x + 3).

-4 (-4x +1) + 1, (-4x + 1) < 1
0 < x < 1

fof(x) =   2 (-4x + 1) + 3, x ≤ 0
  -4 (-4x +1) + 1,  0 < x < 1
2(2x + 3) + 3, x ≥ 1

E então, o que acha desta solução?

por **Leonardo Sueiro** Dom 23 Jun 2013, 13:26

Eu acho que a variável a ser considerada é a inicial. Se não fosse, deveria ter sido explicitado no enunciado.

por Hillyn Dom 14 Jul 2013, 13:49

Por fim, confirmei com meu professor e da definição de função composta deve-se substituir o x por f(x) como eu havia feito. Minha resolução está correta.

por **Leonardo Sueiro** Dom 14 Jul 2013, 18:14

Que bom que você obteve sua resposta, embora eu continue discordando do seu professor. Smile

Prefiro pensar na função como uma máquina. Depois que a matéria-prima, ou variável independente, é colocada, não tem como voltar atrás.

por Chronoss Ter 16 Jul 2013, 09:37

Mas tipo Leonardo , e quando uma função se dá com as seguintes condições :

f: |N ---> |R ; g: |N ---> |R , tais que f (x) = x + 3 e g(x) = x - 3.

Determinar : (f o g)(2)?

Se tentarmos obter a função composta sem verificar se o contra-domínio de g ⊂ D(f) , podemos estar indo de encontro ao erro visto que : g(2) = - 1 , e - 1 $\notin$ D(f) .
Na minha opinião devemos considerar : f[g(x)] = f(y) , para não correr o risco de obter uma função composta que na verdade não está definida.

Gostaria de saber sua opinião sobre o raciocínio empregado . Smile

Obs : Estava usando o mesmo raciocínio que vc , mas fiquei em dúvida depois de fazer a questão 23 da prova de 96 do ita:
http://www.rumoaoita.com/site/attachments/126_Prova_ITA_1996.pdf

por **Leonardo Sueiro** Ter 16 Jul 2013, 10:00

Responderia que não é possível determinar ou, então, se eu fosse o examinador dessa prova, deixaria explícita a mudança de variável no enunciado.

Mas já que as provas cobram assim, façam assim. Temos que dançar conforme a música.