ANÁLISE COMBINATÓRIA

Uma editora deseja fazer uma doação de livros para bibliotecas de duas escolas públicas. Estão disponíveis para doação 2n livros iguais do tipo A, 2n livros iguais do tipo B e 2n livros iguais do tipo C. De quantas maneiras a editora pode doar os 6n livros de modo que cada escola ganhe exatamente 3n livros?

gabarito: 3n² + 3n +1

Primeiro, veja que devido a natureza do problema quando se escolhe os 3n livros para uma escola os outros 3n da outra escola já estão escolhidos.

*Veja que:

a + b + c = 3n, sendo a,b,c a quantidade de livros A,B,C entregue a primeira escola.

Como sabemos a combinação completa desse caso é:

[latex]q = \binom{3n+2}{2}[/latex]


*Mas esse caso calculado ultrapassa o a,b,c ≤ 2n, portanto devemos tirar os casos que não são possiveis.

*Veja que para pelo menos dois deles passarem de 2n precisaríamos entregar no mínimo 4n livros na primeira escola, o que é absurdo. Logo, apenas um deles passará do limite. Imaginando que seria o livro A, temos:

a = 2n + 1 + k, ∀ k ∈ ℤ₊

(2n + 1 + k) + b + c = 3n

k + b + c = n - 1

*Logo,

[latex]h = \binom{n+1}{2}[/latex]

*Com isso a resposta é:

[latex]S = q - 3\cdot h[/latex]


[latex]S = \binom{3n+2}{2} - 3\cdot \binom{n+1}{2}[/latex]



[latex]S = \frac{(3n+2)(3n+1)}{2} - 3\cdot \frac{(n+1)n}{2}[/latex]



[latex]S = \frac{9n^2+9n+2}{2} - 3\cdot \frac{n^2+n}{2}[/latex]



[latex]S = \frac{6n^2+6n+2}{2}[/latex]



[latex]S = 3n^2+3n+1[/latex]