Gravitação universal e energia cinética

Recentemente foi noticiado que o asteroide apophis, uma rocha de 2,7 x 10^10 kg de massa que orbita o sol, estaria ameaçando a terra com uma colisão no ano de 2036. Admita que a velocidade de deslocamento do apophis seja de 4,0 x 10^4 m/s quando a sua distância até o sol for de 1,5 x 10^11 m. nesse sentido, afirma-se que a energia cinética do asteroide, em um ponto de sua órbita situado a uma distância de 1,6 x 10^11 m do sol é, em j, aproximadamente igual a: dados: constante de gravitação universal = 6,7 x 10^−11 m³/kg. s² massa do sol = 2,0 x 10^30 kg
a) 2 x 10^19
b) 3 x 10^19
c) 4 x 10^19
d) 5 x 10^19
e) 6 x 10^19

Resposta:a
Pessoal, não estou conseguindo achar o caminho para resolver essa questão.Conto com a ajuda de vocês para tal.Obrigado!

Resolução errada: 
Bom dia, compadre. 

Você tem que saber a fórmula da força gravitacional que é F=G.M.m/d², porém, essa força F é a resultante Fcp (Força Centrípeta) que atua no asteroide, logo, F=Fcp --> G.M.m/d² = m.v²/d ---> G.M/d=v² --> 6,7 x 10^−11*2,0 x 10^30 / 1,6 x 10^11 = v² ---> v²= 8,375 . 10^8 

Sabendo a velocidade do asteroide à distância pedida, podemos calcular a energia cinética:  m.v²/2 ---> 2,7 x 10^10* 8,375 . 10^8/ 2 ≈ 1,3.10^19 J 

O mais próximo disso é a letra A.

Espero ter ajudado, qualquer dúvida só falar.
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O corpo está sujeito apenas a duas formas de energia:Potencial Gravitacional e Cinética.

Logo,por Conservação de Energia:

[latex]\frac{m_{ast}v_{0}^^{2}}{2} + \left ( -\frac{GM_{sol}m_{ast}}{d_{0}} \right ) = E_{cfinal} + \left ( -\frac{GM_{sol}m_{ast}}{d_{f}} \right )[/latex]


Em que:

[latex]m_{ast}[/latex] = Massa do asteróide

[latex]M_{sol}[/latex] = Massa do sol

[latex]d_{0}[/latex] = Distância inicial entre o asteróide e o sol

[latex]d_{f}[/latex] = Distância final entre o asteróide e o sol

Logo:

[latex]E_{cfinal} = \frac{m_{ast}v_0^^{2}}{2} + GM_{sol}\left ( \frac{1}{d_f} - \frac{1}{d_{0}} \right )[/latex]


[latex]E_{cfinal} = \frac{m_{ast}v_0^^{2}}{2} + GM_{sol}\left ( \frac{d_{0} - d_{f}}{d_0d_f} \right )[/latex]



Substituindo pelos dados fornecidos pela questão:

[latex]E_{cfinal} = \frac{2,7.10^^{10}.16.10^^{8}}{2} + 6,7.10^^{-11}.2.10^^{30}\left ( \frac{(1,5 - 1,6).10^^{11}}{1,5.1,6.10^^{22}} \right )[/latex]

[latex]E_{cfinal} \approx 1,975.10^^{19} J[/latex]

Muito obrigado,senhores.

@eduardodudu101, sabe me dizer se minha resolução está incorreta? E por que não posso fazer desse jeito caso afirmativo?

Ceruko escreveu:@eduardodudu101, sabe me dizer se minha resolução está incorreta? E por que não posso fazer desse jeito caso afirmativo?

@ceruko,não podemos utilizar o conceito de resultante centrípeta pois,nesse caso,a velocidade do corpo não é perpendicular à trajetória.

Perceba que há um afastamento do asteróide em relação ao sol,fazendo com que o raio de curvatura mude a cada instante.

Boa tarde colegas;

Contribuindo para sua dúvida Ceruko, apesar de já frizado muito bem pego colega Eduardo. Nada foi informado sobre o tipo de órbita que o asteróide Apophis realiza, o que você acabou calculando vale para órbitas circulares, onde admitimos que o centro é ocupado pelo Sol. Só uma observação o asteróide acaba se afastando do Sol, não se aproximando.

Eu pensava que a força centrípeta poderia atuar sobre órbitas elípticas, como eu acho que é o caso. Além disso, nunca tinha visto a conservação de energia em órbitas, bem interessante. Obrigado pela ajuda, colegas!

Em nenhum momento falei que não existe atuação de força centrípeta em sua órbita. A relação que você utilizou é:



Depende de R, como não sabemos o tipo da órbita, nada pode ser afirmado. No caso de órbitas circulares o raio da órbita é constante, ou seja, o corpo celeste se encontra em MCU, e aí segue como você mesmo deduziu.

Em casos de órbitas não circulares, o que leva em conta aos cálculos é o parâmetro associado as cônicas: excentridade, que mede o seu desvio em relação a uma circunferência.

Um curioso caso bem específico é o do planeta Terra, onde seu parâmetro de excentridade tem valor de 0,01671123, ou seja, a órbita do planeta Terra pode ser considerada praticamente uma circunferência, não tendo grandes influencias nos cálculos adotados.

Saquei, o ponto chave ali é que o Raio não é constante, assim como não é a velocidade.