inequação modular

Resolva: |4-x²| > 5

4-x² > 5 ou 4-x² < -5 

I) -x²-1 > 0 --> não existe x que satisfaça essa inequação, então S' = {}
II) x² > 9 --> x > +-3 --> S" = (-3,3)

S = S' interseção S" = S' = {} --> é interseção, pois 4-x² > 5 "OU" 4-x² < -5, certo?

Gabarito: (-inf,-3]U[3,+inf)

Onde estou errando?

[latex]\left | 4-x^{2} \right |>5\rightarrow -5>4-x^{2}>5[/latex]

Primeira parte: [latex] -5>4-x^{2}[/latex] ; onde [latex]4-x^{2}<0[/latex] deve se verificar também, já que estamos extraindo o módulo com o sinal negativo, ou seja, o número dentro do módulo, neste caso, deve ser negativo.
Faça o diagrama de sinais da função, encontrará que os valores permitidos são pertencentes ao conjunto [latex]A=(\infty -;-3]\cup [3;\infty +)[/latex]

Segunda parte: [latex]4-x^{2}>5[/latex]
Perceba que não há solução para essa desigualdade.

Logo a resposta será  [latex](\infty -;-3]\cup [3;\infty +)[/latex]


Quando estiver resolvendo questões de módulos e ocorrer um caso impossível, como o desse exercício: [latex]-x^{2}-1>0[/latex] , apenas o desconsidere e torne como o conjunto solução a outra possibilidade, se a mesma também for vazia, então não haverá solução.

Veja como outro exemplo a primeira questão do Colégio naval do ano de 2020:
https://www.marinha.mil.br/sspm/sites/www.marinha.mil.br.sspm/files/provas/CPACN-2020%20%20matem%C3%A1tica%20e%20ingl%C3%AAs%201%C2%BADIA%20PROVA%20AMARELA.pdf

FreddieMercury escreveu:[latex]\left | 4-x^{2} \right |>5\rightarrow -5>4-x^{2}>5[/latex]

Primeira parte: [latex] -5>4-x^{2}[/latex] ; onde [latex]4-x^{2}<0[/latex] deve se verificar também, já que estamos extraindo o módulo com o sinal negativo, ou seja, o número dentro do módulo, neste caso, deve ser negativo.
Faça o diagrama de sinais da função, encontrará que os valores permitidos são pertencentes ao conjunto [latex]A=(\infty -;-3]\cup [3;\infty +)[/latex]

Segunda parte: [latex]4-x^{2}>5[/latex]
Perceba que não há solução para essa desigualdade.

Logo a resposta será  [latex](\infty -;-3]\cup [3;\infty +)[/latex]


Quando estiver resolvendo questões de módulos e ocorrer um caso impossível, como o desse exercício: [latex]-x^{2}-1>0[/latex] , apenas o desconsidere e torne como o conjunto solução a outra possibilidade, se a mesma também for vazia, então não haverá solução.

Veja como outro exemplo a primeira questão do Colégio naval do ano de 2020:
https://www.marinha.mil.br/sspm/sites/www.marinha.mil.br.sspm/files/provas/CPACN-2020%20%20matem%C3%A1tica%20e%20ingl%C3%AAs%201%C2%BADIA%20PROVA%20AMARELA.pdf

Olá, tudo bem?

Não consegui entender.

Na primeira parte, deve-se considerar 4-x² < -5 e 4-x² < 0 --> x > +-3 e x > +-2 --> Como você me orientou, fiz o diagrama de sinais da função, entretanto, cheguei nessa solução: 

Nesse caso, haverá uma união desses conjuntos, certo? Pois devo ter 4-x² < -5 "E" 4-x² < 0, certo? Assim sendo, 
S' = (-inf,-3)U(3,+inf) U (-inf,-2)U(2,+inf) --> S' = (-inf,-2)U(2,+inf) 

Na segunda parte, deve-se considerar 4-x²>5, assim como você considerou e chegou na conclusão de que 4-x²>5 --> -x-1>0 --> {}  

Porém, seguindo o seu raciocínio na primeira parte, não deveríamos, também, considerar 4-x²>=0 (Já que estamos extraindo o módulo com o sinal positivo, ou seja, o número dentro do módulo, nesse caso, deve ser positivo)?

Assim sendo, 4-x²>5 e 4-x²>=0  --> -x-1>0 e x<=+-2 --> S"= {} U [-2,2] = [-2,2]

Dessa forma, cheguei na conclusão S = S' interseção S" = (-inf,-2)U(2,+inf) interseção [-2,2] = {} 

Desculpa se me equivoquei, mas segundo o que você me disse, foi isso o que eu entendi. Esse assunto é bem complicadinho! rsrs Se puderes me explicar melhor como chegou nesse resultado e o que estou errando na minha análise, ficarei grata!

Olá, este assunto realmente é meio complicado rsrssr. Irei responder conforme a ordem de sua mensagem:

1---""Na primeira parte, deve-se considerar 4-x² < -5 e 4-x² < 0 --> x > +-3 e x > +-2""  
           
-Tome cuidado com algumas notações, pois o correto seria: Na primeira parte, deve-se considerar 4-x² < -5 e 4-x² < 0 --> x >+3 ou x<-3 e x >+2 ou x<-2.  

2--- ""Nesse caso, haverá uma união desses conjuntos, certo? Pois devo ter 4-x² < -5 "E" 4-x² < 0, certo? Assim sendo,
S' = (-inf,-3)U(3,+inf) U (-inf,-2)U(2,+inf) --> S' = (-inf,-2)U(2,+inf) ""

           -Quando queremos que uma coisa ocorra junto a outra, usamos a palavra "E", que remete a intersecção de conjuntos e não união como você disse. Logo o correto seria:  Nesse caso haverá uma intersecção desses conjuntos, pois devo ter 4-x² < -5 "E" 4-x² < 0. Assim sendo: [latex]S'=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\cap (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\rightarrow S'=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )[/latex].
             -Desculpe-me, percebi que errei em minha resolução, pois o correto seria o intervalo aberto em -3 e 3, como você fez.

3--- "Na segunda parte, deve-se considerar 4-x²>5, assim como você considerou e chegou na conclusão de que 4-x²>5 --> -x-1>0 --> {}  

Porém, seguindo o seu raciocínio na primeira parte, não deveríamos, também, considerar 4-x²>=0 (Já que estamos extraindo o módulo com o sinal positivo, ou seja, o número dentro do módulo, nesse caso, deve ser positivo)?

Assim sendo, 4-x²>5 e 4-x²>=0  --> -x-1>0 e x<=+-2 --> S"= {} U [-2,2] = [-2,2]"
   
             - O primeiro parágrafo está correto, com exceção do último termo : -x-1>0 --> {}. o correto seria: -x²-1>0, mas acredito que tenha sido somente um erro de digitação rsrs. Em relação ao segundo parágrafo, também está correto o seu raciocínio, eu apenas percebi que neste caso, o conjunto seria vazio, então a intersecção entre eles também seria. Logo não empreguei a sentença 4-x²>=0 por pura preguiça rsrs, mas você está corretíssima em relação a isso. Já no terceiro parágrafo, ocorre o mesmo problema da pergunta anterior: o emprego da palavra "E" remete a intersecção, logo o correto seria: [latex]S"={\varnothing }\cap \left [ -2;2 \right ]=\varnothing [/latex] , e como uma das sentenças emprega um caso impossível, apenas descartamos esta possibilidade e ficamos com a primeira parte.

4--- "Dessa forma, cheguei na conclusão S = S' interseção S" = (-inf,-2)U(2,+inf) interseção [-2,2] = {}"
       
           - Repare que abrimos a questão em duas possibilidades: a extração do módulo ser positiva ou ser negativa. Logo a união destas possibilidades seria a minha resposta, pois elas não se anulam, ou seja, não interferem diretamente uma na outra. Logo o correto seria: [latex]S=S'\cup S"= (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\cup \varnothing =(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )[/latex].

           Imagino que ouve algum erro no gabarito, como eu fiz ali atrás, trocando o "(" por "[" . Não sou muito bom em matemática, mas tento ajudar com o pouco que sei, se confundi você, peço desculpas, porém a última dica que posso dar é: faça muitos exercícios envolvendo módulo, pois assim se acostumará melhor. Abraços.

FreddieMercury escreveu:Olá, este assunto realmente é meio complicado rsrssr. Irei responder conforme a ordem de sua mensagem:

1---""Na primeira parte, deve-se considerar 4-x² < -5 e 4-x² < 0 --> x > +-3 e x > +-2""  
           
-Tome cuidado com algumas notações, pois o correto seria: Na primeira parte, deve-se considerar 4-x² < -5 e 4-x² < 0 --> x >+3 ou x<-3 e x >+2 ou x<-2.  

2--- ""Nesse caso, haverá uma união desses conjuntos, certo? Pois devo ter 4-x² < -5 "E" 4-x² < 0, certo? Assim sendo,
S' = (-inf,-3)U(3,+inf) U (-inf,-2)U(2,+inf) --> S' = (-inf,-2)U(2,+inf) ""

           -Quando queremos que uma coisa ocorra junto a outra, usamos a palavra "E", que remete a intersecção de conjuntos e não união como você disse. Logo o correto seria:  Nesse caso haverá uma intersecção desses conjuntos, pois devo ter 4-x² < -5 "E" 4-x² < 0. Assim sendo: [latex]S'=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\cap (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )\rightarrow S'=(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )[/latex].
             -Desculpe-me, percebi que errei em minha resolução, pois o correto seria o intervalo aberto em -3 e 3, como você fez.

3--- "Na segunda parte, deve-se considerar 4-x²>5, assim como você considerou e chegou na conclusão de que 4-x²>5 --> -x-1>0 --> {}  

Porém, seguindo o seu raciocínio na primeira parte, não deveríamos, também, considerar 4-x²>=0 (Já que estamos extraindo o módulo com o sinal positivo, ou seja, o número dentro do módulo, nesse caso, deve ser positivo)?

Assim sendo, 4-x²>5 e 4-x²>=0  --> -x-1>0 e x<=+-2 --> S"= {} U [-2,2] = [-2,2]"
   
             - O primeiro parágrafo está correto, com exceção do último termo : -x-1>0 --> {}. o correto seria: -x²-1>0, mas acredito que tenha sido somente um erro de digitação rsrs. Em relação ao segundo parágrafo, também está correto o seu raciocínio, eu apenas percebi que neste caso, o conjunto seria vazio, então a intersecção entre eles também seria. Logo não empreguei a sentença 4-x²>=0 por pura preguiça rsrs, mas você está corretíssima em relação a isso. Já no terceiro parágrafo, ocorre o mesmo problema da pergunta anterior: o emprego da palavra "E" remete a intersecção, logo o correto seria: [latex]S"={\varnothing }\cap \left [ -2;2 \right ]=\varnothing [/latex] , e como uma das sentenças emprega um caso impossível, apenas descartamos esta possibilidade e ficamos com a primeira parte.

4--- "Dessa forma, cheguei na conclusão S = S' interseção S" = (-inf,-2)U(2,+inf) interseção [-2,2] = {}"
       
           - Repare que abrimos a questão em duas possibilidades: a extração do módulo ser positiva ou ser negativa. Logo a união destas possibilidades seria a minha resposta, pois elas não se anulam, ou seja, não interferem diretamente uma na outra. Logo o correto seria: [latex]S=S'\cup S"= (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\cup \varnothing =(-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )[/latex].

           Imagino que ouve algum erro no gabarito, como eu fiz ali atrás, trocando o "(" por "[" . Não sou muito bom em matemática, mas tento ajudar com o pouco que sei, se confundi você, peço desculpas, porém a última dica que posso dar é: faça muitos exercícios envolvendo módulo, pois assim se acostumará melhor. Abraços.

Boa noite, tudo bem? Cá estou eu aqui de volta

Finalmente entendi a diferença entre os conectivos e/ou. Entretanto, me surgiu só mais uma dúvida referente à esse exercício. A sua notação:

|4-x²|>5 --> -5> 4-x² >5 é a mesma que 4-x² >5 OU 4-x² < -5? Pois eu entendo que a primeira notação significa E e a segunda OU. Caso o meu raciocínio esteja correto, considerando o resultado do exercício que é obtido pela união de 4-x² >5 ou 4-x² < -5, o correto seria essa notação, certo? Mas se for a mesma coisa, desconsidere o que eu disse.

E de novo, muito obrigada pela sua ajuda, você foi excelente tirando minhas dúvidas.

É bem mais fácil visualizar no gráfico: