Inequação modular

por Isa16 Qui 24 Mar 2016, 20:21

Olá eu tenho a resolução de uma questão, e gostaria que me explicassem um determinado ponto dela:

$\\\frac{2+x}{3-x}>4\\ \\ \\ \frac{x+2}{-x+3}-4>0\\\\\\ \frac{x+2}{-(x-3)}-4>0\\\\\\$

$\\\frac{-(x+2)}{x-3}-4>0\\ \\ \\ \frac{-5x+10}{x-3}>0\\\\\\$

Ali entre o passo três e quatro, qual é a dos sinais? Qual foi a razão daquilo? existe alguma propriedade?
Eu resolvi a conta sem fazer aquilo, e o resultado deu outro, pq não pode?

A questão original é essa:
$\left | \frac{2+x}{3-x} \right |>4$

Aqueles são apenas alguns passos da resolução... usei a propriedade |a|>x => a>x ou a<-x

Ps: Há outra forma de resolução?

por **Carlos Adir** Qui 24 Mar 2016, 20:35

$\\ \mathrm{\left|\dfrac{2+x}{3-x}\right| > 4 \Rightarrow \dfrac{|2+x|}{|3-x|} > 4 \Rightarrow |2+x| > 4|3-x|} \\ \mathrm{Elevando \ tudo \ ao \ quadrado:} \\ \mathrm{4+4x+x^2 > 16\left(9-6x+x^2 \right )} \\ \mathrm{0 > 140 -100x +15x^2} \\ \mathrm{0 > 5\left(3x^2-20x+28 \right )} \\ \mathrm{Achando \ as \ raizes:} \\ \mathrm{x = \dfrac{10 \pm 4}{3} \Rightarrow x_1 = \dfrac{14}{3} \Rightarrow x_2=2} \\ \mathrm{Continuando \ a \ inequacao:} \\ \mathrm{0 > 5\left(3x-14 \right )\left(x-2 \right )}$
Então o conjunto solucao é: ]2, 14/3[

por Isa16 Qui 24 Mar 2016, 20:45

Olá Carlos!
Por que tem que elevar tudo ao quadrado? :/
ps: achei que não pudesse passar para o outro lado quando se tem uma incógnita no denominador.

por **Carlos Adir** Qui 24 Mar 2016, 21:02

É uma maneira de simplificação. Com ela, não é necessário garantir que o modulo seja positivo, pois ao elevarmos ao quadrado, já fica positivo!
$\mathrm{|y| = |x| \Leftrightarrow |y|^2 = |x|^2 \Leftrightarrow y^2 = x^2}$

Pode, DESDE que você ponha modulo nas duas partes da fração.
PS: Um erro, esqueci que o denominador não pode ser nulo, então a resposta fica:
]2, 3[U]3, 14/3[

por Isa16 Qui 24 Mar 2016, 21:12

Nossa que legal, agora vai ficar bem mais fácil de resolver as continhas Smile

Obrigada!
Mas a resolução postada por mim ainda me deixa perplexa, você tem alguma teoria do pq aquilo acontece?

por **Carlos Adir** Qui 24 Mar 2016, 21:40

A teoria que tenho é a definição da função modular:
$\mathrm{|x|=}\begin{cases}\mathrm{-x; \ \ se \ x < 0} \\ \mathrm{x; \ \ se \ x \ge 0} \end{cases}$

Acho que o "aquilo" é o método de elevar ao quadrado. Bem, ele deve-se também à definição(ou teorema, não sei) sobre raizes:
$\mathrm{x^2 = y \Leftrightarrow |x| = \sqrt{y}}$

por Isa16 Qui 24 Mar 2016, 22:50

Ei carlos, eu havia cometido um errinho algébrico, não é necessário realizar aquele procedimento para chegar ao resultado! Mas muitíssimo obg, agora com isso de poder elevar ao quadrado para cancelar o modulo eu vou economizar mto tempo, graças a tu! mto obg Smile

Te cuida :*