Soma Telescópica
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Soma Telescópica
por matheusbon Seg 19 Abr 2021, 09:30
Calcule o valor da soma:
[latex]\frac{1}{1+1^{2}+1^{4}}+\frac{2}{1+2^{2}+2^{4}}+...+\frac{50}{1+50^{2}+50^{4}}[/latex]
[latex]\frac{1}{1+1^{2}+1^{4}}+\frac{2}{1+2^{2}+2^{4}}+...+\frac{50}{1+50^{2}+50^{4}}[/latex]
matheusbon- Padawan
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Re: Soma Telescópica
por Kayo Emanuel Salvino Seg 19 Abr 2021, 10:39
1 + y² + y^4 = (y² + 1)² - y² --> (y² + y + 1)(y² - y + 1).
Vê se consegue algo com isso.
Vê se consegue algo com isso.
Kayo Emanuel Salvino- Fera
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Idade : 21
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Re: Soma Telescópica
por Messias Castro Seg 19 Abr 2021, 10:54
Veja que:
[latex]\frac{x}{1+x^2+x^4} = \frac{x}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )[/latex]
[latex]\frac{x}{1+x^2+x^4} = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{(x-1)^2+(x-1)+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )[/latex]
Com isso,
[latex]\sum_{x=1}^{50}\left [\frac{x}{1+x^2+x^4} \right ] = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{(1-1)^2+(1-1)+1}-\frac{1}{50^2+50+1} \right )[/latex]
[latex]\sum_{x=1}^{50}\left [\frac{x}{1+x^2+x^4} \right ] = \frac{1}{2}\cdot \frac{2550}{2551} = \frac{2550}{5102}[/latex]
[latex]\frac{x}{1+x^2+x^4} = \frac{x}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)} = \frac{1}{2}\left (\frac{1}{x^2-x+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )[/latex]
[latex]\frac{x}{1+x^2+x^4} = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{(x-1)^2+(x-1)+1}-\frac{1}{x^2+x+1} \right )[/latex]
Com isso,
[latex]\sum_{x=1}^{50}\left [\frac{x}{1+x^2+x^4} \right ] = \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{(1-1)^2+(1-1)+1}-\frac{1}{50^2+50+1} \right )[/latex]
[latex]\sum_{x=1}^{50}\left [\frac{x}{1+x^2+x^4} \right ] = \frac{1}{2}\cdot \frac{2550}{2551} = \frac{2550}{5102}[/latex]
Messias Castro- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 26/02/2021
Idade : 26
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