Soma telescópica 1

por medock Ter 23 Fev 2016, 09:17

Prove que 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... + 1/2013 - 1/2014 = 1/1008 + 1/1009 + ... + 1/2013 + 1/2014.

Obs: desculpe não ter usado o latex, estou postando pelo celular.

por **LPavaNNN** Qua 24 Fev 2016, 00:00

''traduzindo'' em incógnitas :

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

vamos usar indução finita :

chamemos a parte antes do sinal de f(n) e a função após de g(n)

sabemos que g(n)=f(n) (partindo do princípio que a igualdade é verdadeira, caso não seja, chegaremos à um absurdo, provando que a igualdade é falsa ) .

$f(n+1)-f(n)=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\\g(n+1)-g(n)=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n+2}-[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}]=\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\text{logo:}\\f(n+1)-f(n)=g(n+1)-g(n), \text{ como }f(n)=g(n), \text{então :}\\f(n+1)=g(n+1)$

isso termina a indução, provando que a equação é verdadeira para qualquer valor de n, inclusive para n=1007, que é o caso da questão .

Soma telescópica 1

Soma telescópica 1

Re: Soma telescópica 1

Um fórum livre e democrático.