MATRIZES

por Salvattore Dom 18 Abr 2021, 15:07

[latex](UECE) Seja X=M+M^{2}+M^{2}+...+M^{k}[/latex], em que M é a matriz \begin{bmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{bmatrix} e k é um número natural. Se o determinante da matriz X é igual a 324, então o valor de k²+3k-1 é:
Gab: 377

por ruanramos Dom 18 Abr 2021, 15:44

Suponha uma matriz x = [latex]\begin{bmatrix} x & y\\ z & w \end{bmatrix}[/latex].

Sabe-se que seu determinante dará 324. Então:

det x = [latex]\begin{vmatrix} x &y \\ z& w \end{vmatrix}[/latex] --> det x = xw - zy = 324(I)

Agora olhamos para as matrizes M. Somarei as 2 primeiras matrizes, para encontrar um padrão.

M + M² = [latex]\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0& 1 \end{bmatrix}[/latex]+[latex]\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 0& 1 \end{bmatrix}[/latex] = [latex]\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 0& 2 \end{bmatrix}[/latex]

Note que a diagonal principal sempre terá termos iguais e na diagonal secundária sempre haverá um termo nulo.

Voltamos a matriz X:[latex]\begin{bmatrix} x & y\\ z&w \end{bmatrix}[/latex]

Então temos que x = w e z = 0.

De I temos:

x² - 0 = 324 --> x = 18

ou seja, K = 18. Basta agora resolver a equação, terá sua resposta.

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