Triângulo inscrito

Um triângulo está inscrito numa circunferência de raio 5 cm. Sabe-se ainda que AB é o diâmetro, BC mede 6cm e a bissetriz do ângulo ABC intercepta a circunferência no ponto D. Se [latex]\alpha [/latex] é a soma das áreas dos triângulos ABC e ABD e [latex]\beta [/latex] é a área comum aos dois, o valor de [latex]\alpha -2\beta [/latex] é igual a:




A)14
B)15
C)16
D)17
E)18




gabarito: A)

Como [latex]\Delta [/latex] ABC está inscrito e AB é igual ao diâmetro da circunferência,temos que C mede 90º. Logo, [latex]\Delta [/latex] ABC é retângulo em [latex]\widehat{C}[/latex] 

Por Pitágoras,obtém-se [latex]\overline{AC}[/latex] igual a 8 cm

Denominando o ângulo do vértice B de [latex]\theta [/latex] temos que sen [latex]\theta [/latex] = 0,8

Como [latex]\overline{BD}[/latex] é bissetriz,o Ângulo [latex]\widehat{ABD}[/latex] tem sen [latex]\gamma [/latex] = 1/sqrt5(Arco Metade,uma vez que gamma=theta/2)

No triângulo ABD,assim como no triângulo ABC,seu lado coincide com o diâmetro da circunferência. Portanto o ângulo oposto a esse lado,no caso [latex]\widehat{D}[/latex] mede 90º.

Como [latex]\widehat{ABD}[/latex] é theta/2,e ABD é triângulo retângulo,cos theta/2 = 1/sqrt5 = AD/10 (CATETO OPOSTO/HIPOTENUSA)

Assim,tem-se [latex]\overline{AD}[/latex] = 2sqrt5. Por Pitágoras em ABD,obtemos [latex]\overline{DB}[/latex] = 4sqrt5.

Agora,podemos calcular alpha = [latex]S_{ABC} + S_{ABD}[/latex] 

alpha = 6x8/2 + 2sqrt5x4sqrt5/2 => alpha = 44 cm²

Para o cálculo de beta,vamos levar em conta que [latex]S_{ABE} = S_{ABC} - S_{BCE}[/latex] sendo E o ponto de interseção dos dois triângulos ABC e ABD.

Em ABC,pelo Teorema de Bissetriz Interna,tem-se:

10/x = 6/y com x = [latex]\overline{AE} [/latex]e y =  [latex]\overline{EC} [/latex] ,além de que x + y = [latex]\overline{AC}[/latex] = 8 cm

Com isso,x = 5 cm e y = 3 cm

Por fim, beta =24 - 9 = 15 cm²

alpha - 2beta = 44 - 2x15 => alpha -2beta = 14