Inequação

63- (Pucpr 2005) Sejam x' e x'' números reais, zeros da equação: (2-k)x² + 4kx + k + 1 = 0. Se x' > 0 e x'' < 0, deve-se ter qual relação de k? Gabarito: k<-1 ou k>2.

Eu cheguei na resposta correta a partir da minha resolução. Ainda assim, não estou confiante, porque achei muito extensa (Aliás, se tiver uma maneira mais fácil de fazer, sugestões são bem vindas...). Então,se alguém puder identificar algum erro eu ficaria muito grata pois estou tendo dificuldades nesse assunto!!

OBS: Eu sei que há uma tabelinha com sinais na edição de texto, mas não consigo usá-los pois fica nesse formato, por exemplo : \left (\geq   \right ).

Minha resolução:
(2-k)x² + 4kx + k + 1 = 0
delta = 16k²-4(2-k)(k+1) = (pulando etapas) = 4(5k²-k-2)
x= {-4k(+-)√[4(5k²-k-2)]}/[2(2-k)] = (pulando etapas) = [-2k (+-) √(5k²-k-2)]/(2-k)


Para x'>0


-2k+√(5k²-k-2) > 0
√(5k²-k-2) > 2k



C.E.: 5k²-k-2 (>=) 0 --> k = (1(+-) √41)/10 --> k' = 0,74 e k'' = -0,54. Colocando os valores na reta real, temos concavidade voltada para cima permitindo apenas os valores positivos e portanto: k (<=) -0,54 ou k (>=) 0,74 (Essa é a condição de existência).


√(5k²-k-2) > 2k --> elevando ambos os membros ao quadrado --> 5k² - k- 2 > 4k² --> k² - k - 2 > 0 --> k' = 2 e k''= -1. Colocando os valores na reta real, temos concavidade voltada para cima permitindo apenas os valores positivos e portanto: 
k<-1 ou k>2. 

Agora fazendo a intersecção dos dois conjuntos: k<-1 ou k>2.


Para x''<0



-2k-√(5k²-k-2) < 0

-√(5k²-k-2) < 2k x(-1)

√(5k²-k-2) > -2k ()²

5k² - k- 2 > 4k²

k² - k - 2 > 0



Como a equação é igual a anterior, vale o mesmo conjunto solução: S = {-1 > k > 2}

Existe um modo bem mais simples:

O valor x = 0 está entre as raízes x' e x"
Para x = 0 ---> f(0) = k + 1
Neste caso vale a propriedade:

a.f(x) < 0 ---> (2 - k).(k + 1) < 0 ---> 2.k + 2 - k² - k < 0 ---> *(-1) --->

k² - k - 2 > 0 ---> Raízes k = -1 e k = 2

Esta função é uma parábola com a concavidade voltada para cima; ela é positiva exteriormente às raízes:

Solução: k < -1 ou k > 2